تثلیث زاویه ، مسئلة تقسیم زاویه ای مفروض به سه بخش مساوی که یکی از سه مسئلة مشهور هندسة یونان باستان بود (دو مسئلة دیگر: تضعیف مکعب * و تربیع دایره * ). اقلیدس در حدود ٣٠٠ ق م ، در قضیة ١٠ مقالة اول اصول نحوة تقسیم زاویة مفروضی را به دو بخش مساوی با خط کش و پرگار نشان داد. پیر ل . وانتسل (١٨١٤ـ ١٨٤٨) ریاضیدان اروپایی ، در ١٨٣٧ با استفاده از نظریة معادله های جبری ثابت کرد که تثلیث زاویه با خط کش و پرگار در حالت کلی ناممکن است (کلاین ، ص ٧٦٤) اما بعضی زاویه های خاص ، مثلاً زاویة °٩٠، را می توان با خط کش و پرگار تثلیث کرد.

در قرن دوم یا سوم ق م ، هندسه دانان یونان روشهایی برای تثلیث زاویه از راههای دیگر یافتند ( رجوع کنید به هیث ، ج ١، ص ٢٣٥ـ ٢٤٤). یکی از راههای تثلیث ابداعی یونانیان را می توان از روی کتاب مأخوذات منسوب به ارشمیدس ، که تنها ترجمة عربی دورة اسلامی آن به جا مانده است ، بازیافت (شکل ١). دایره ای به مرکز C می کشیم و فرض می کنیم که تثلیث زاویة PCA با نقطه های P و A روی دایره مطلوب است . از نقطة A قطر AB را می کشیم و آن را از طرف B امتداد می دهیم . اکنون پاره خط QR برابر با شعاع دایره را بین لبة بیرونی دایره و امتداد قطر چنان درج می کنیم که نقطة Q روی دایره بین P و B باشد و نقطة P بر راستای RQ واقع شود. اکنون زاویة QCR یک سوم زاویة PCA است . این ترسیم نمونه ای از ترسیمهای موسوم به «درج » در هندسة یونان است . درج یعنی قراردادن پاره خطی راست ، به طول مفروض ، بین دو منحنی مفروض چنانکه این پاره خط یا راستای آن از نقطة مفروضی بگذرد. برخی هندسه دانان یونان (مانند ارشمیدس ) این شیوة ترسیم را بدون توجیه اضافی می پذیرفتند.

سایر هندسه دانان یونان کاربرد مقطعهای مخروطی را ترجیح می دادند. دو روش تثلیث زاویه با دایره و هذلولی در مجموعة پاپوس اسکندرانی * به جا مانده است . ترجمة عربی یکی از این روشها در نوشته های بنوموسی * و ثابت بن قرّه * آمده است . ابوسهل کوهی در قرن چهارم روش بسیار ساده ای برای تثلیث زاویه ابداع کرد. این روش را احمدبن محمدبن عبدالجلیل سِجزی بنادرست از آنِ خود خوانده است (برای متنهای عربی در بارة تثلیث رجوع کنید به نور ، ص ٢٦٧ـ٣٠٩ و برای چاپ عکسی این نسخه ها رجوع کنید به همان ، ص ٣٥٨ـ٣٦٣ ،٣٧٠؛ برای روش ابوسهل کوهی رجوع کنید به صاییلی ، ص ٦٩٣ـ٧٠٠).

در روش ابوسهل کوهی فرض می شود که می خواهیم زاویة ACB را تثلیث کنیم (شکل ٢). دایره ای به مرکز C و شعاع دلخواه می کشیم و فرض می کنیم که A و B روی این دایره واقع اند. BC را امتداد می دهیم تا دایره را در D قطع کند و وسط CD را M می نامیم . سپس هذلولی متساوی الساقین به مرکز M و گذرنده از C را چنان می کشیم که خط AC بر آن مماس باشد. این هذلولی ، دایره را در نقطة E بین A و B قطع خواهد کرد.

اکنون زاویة EDB یک سوم زاویة ACB است . برهان : EF را به موازات AC می کشیم تا BC را در F قطع کند و EC را رسم می کنیم . چون E روی هذلولی است (بنابه قضیة ١٢ مقالة اول مخروطات آپولونیوسِ پرگایی * ) = FC.FD ٢ EF ، پس متشابه اند، بنابراین EDC â EDF = â CEF = â . چون E روی دایره است ، EC = CD ، پس EDC â CED = â . بنابر این EDC â ٣ EDF = â FED + â EFB = â ACB = â .

این فرض ابوسهل کوهی که می توان هذلولی فوق را رسم کرد مبتنی است بر نظریة مذکور در پایان مقالة اول مخروطات آپولونیوس پرگایی (٢٠٠ ق م ) که در قرن سوم به عربی ترجمه شد. آپولونیوس در آنجا ترسیم مخروطی سه بُعدی را تشریح کرده که صفحه را در مقطع مخروطی مطلوب قطع می کند. ابوسهل کوهی رساله ای دارد دربارة نوع خاصی پرگار که با آن می توان این نوع ترسیم را انجام داد. شاهدی برای این که این پرگار کامل (البرکارالتام ) عملاً به کار می رفته است ، موجود نیست . در عهد ابوسهل کوهی ، تثلیث زاویه تنها اهمیت نظری داشت . وقتی ارتباط تثلیث زاویه با مسئلة محاسبة سینوس ْ١، که در جدولهای مثلثاتی کمّیتی بنیادی است ، معلوم شد این وضع تغییر کرد. اگر زاویة a را بتوان با خط کش و پرگار رسم

کرد، همواره می توان سینوس a را به کمک جذرگیری با دقت دلخواه محاسبه کرد. به این ترتیب ، مثلاً می توان سینوس ْ٣ را محاسبه کرد.

غیاث الدین جمشید کاشانی در رسالة وَتَر و جَیْب که باقی نمانده ولی به صورت شرحهایی که بعداً بر آن نوشته اند در دست است ، نشان داده است که تثلیث هر زاویة مفروض را می توان به مسئلة حل معادلة درجة سوم px = q + ٣ x که در آن p و q کمّیتهای مثبت معلومی هستند تحویل کرد ( رجوع کنید بهقاضی زادة رومی ، ص ٤٤). او روشی مبتنی بر تکرار برای یافتن x (ریشة معادله ) ابداع کرد. در مورد تثلیث زاویة ْ٣ ، این روش یک رشته تقریبهای سریعاً همگرا برای سینوس ْ١ عرضه می کند. وی سپس مقدار دقیق سینوس ْ١ را به عنوان مبنای جدول سینوس جدیدی به کار برد (یوشکویچ ، ص ٣١٩ـ٣٢٣).

بیرونی در مقالة سوم قانون مسعودی به بررسی ضلع نُه ضلعی منتظم در دایره ای به شعاع معلوم پرداخته است تا وتر ْ٤٠ یا، به عبارت دیگر، دو برابر سینوس ْ٢٠ را محاسبه کند (ج ١، ص ٢٨٦ـ٢٩١). او نشان داده که این مقدار را در صورت حل هریک از دو معادلة x ٣ + ١ = ٣ x یا x ٣ = ١ + ٣ x نیز می توان یافت ، و تقریبی برای جواب معادله یافته است که به کمک آن سینوس ْ٢٠ با دقت ٧ رقم دهدهی محاسبه می شود (شوی ، ص ٧٨ـ٨٢). این مسئله معادل است با تثلیث زاویة ْ٦٠ (یوشکویچ ، ص ٣١١).

در ریاضیات اروپا، تثلیث بار دیگر در آثار فرانسوا ویت دیده می شود. او از تثلیث برای حل معادلة درجة سوم px = q + ٣ x استفاده کرده است . روش جبری منجر به اعداد مختلط می شود که ویت از آن پرهیز داشت (کلاین ، ص ٢٦٦ـ٢٧٢).

منابع :
(١) محمدبن احمد ابوریحان بیرونی ، کتاب القانون المسعودی ، حیدرآباد دکن ١٣٧٣ـ ١٣٧٥/ ١٩٥٤ـ١٩٥٦؛
(٢) موسی بن محمود قاضی زادة رومی ، شرح چغمینی ، همراه با رسالة فی استخراج جیب الدرجة الواحدة علی التحقیق الحقیق استخرجه افضل المهندسین غیاث الدین جمشید القاسانی ، چاپ سنگی تهران ١٢٨٦؛

(٣) Thomas L. Heath, A history of Greek mathematics , New York ١٩٨١;
A. P. Juschkewitsch, Geschichte

der Mathematik im Mittelalter (ترجمه از متن روسی ) ,

(٤) Leipzig ١٩٦٤;
Morris Kline, Mathematical thought

(٥) from ancient to modern times , New York ١٩٧٢;
Wilbur

(٦) R. Knorr, Textual studies in ancient and medieval geometry , Boston ١٩٨٩;
Ayd ân Say âl â, "The trisection of the angle by Abu ¦Sahl Waijan ibn Rustam al-Ku ¦h ¦â"

(٧) با ترجمة ترکی و انگلیسی ) (متن عربی همراه , Belleten , XXVI (١٩٦٢);
(٨) Carl Schoy, Die Trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen... al-B i ¦ru ¦n i ¦, Hannover ١٩٢٧.

/ ی . پ . هوخندایک /