تناهی ابعاد ، از خواص و عوارض جسم و از مقاصد و مباحث علم طبیعی . تناهی ، به معنای حد و طرف داشتن و محدود بودن است و عدم تناهی به معنای بی حد و نامحدود بودن . تناهی به معنای حقیقی ، وصفی است که به کمیّت و امور کمّی ، به جهت کمیّت آنها، تعلق می گیرد. به عبارت دیگر، تناهی حقیقی از لوازم ذاتی کمیّت است ؛ بنابراین ، چیزی که کمیّت ندارد، نهایت ندارد و به سلب مطلق متصف به عدم تناهی است ، مانند نقطه که چون کمیّت ندارد نهایت نیز ندارد اما خود نقطه نهایت و طرف خط است و خط به آن محدود می شود. اینگونه سلب تناهی از نقطه ، از قبیل دیده نشدنِ صداست ، زیرا صدا دارای وصفی که دیدن به آن تعلق گیرد نیست . قسم دیگر عدم تناهی ، که در بارة وجود آن بحث و نزاع است ، این است که یک شی ء به جهت ماهیت و طبیعتش نهایت بردار است ولی نهایت ندارد، مانند خطی که مفروضاً نامتناهی است . نامتناهی به این نحو بدین معنی است که «هر چه از آن بر گیری باز از آن چیزی باقی می ماند» (ابن سینا، ١٤٠٥، ج ١، فن ١، ص ٢٠٩ـ ٢١٠).

بحث در بارة عدم تناهی و امکان وجود امور نامتناهی همواره یکی از موضوعات مورد توجه فیلسوفان و ریاضیدانها بوده است و در این باب آرای گوناگونی بیان شده است (در این باره رجوع کنید به ارسطو، ص ١٠٨ـ١١٣؛ ابن سینا، ١٤٠٥، ج ١، فن ١، ص ٢٠٩ـ٢١١؛ ابوالبرکات بغدادی ، ج ٢، ص ٨٠ ـ٨١؛ نیز رجوع کنید به لاریجانی ، ص ٧٩ـ١٠٥؛ نامتناهی * ). یکی از مواضع بحث در بارة نامتناهی ، در حکمت قدیم ، در بحث از جسم و ماهیت و اجزای آن است که با عنوان تناهی ابعاد مطرح شده است (برای نمونه رجوع کنید به ابن سینا، ١٤٠٥، ج ١، فن ١، ص ٢٠٩ـ٢١٩؛ صدرالدین شیرازی ، ١٣١٣، ص ٥٤ ـ٥٧؛ لاهیجی ، ج ٢، ص ٣٣٩ـ ٣٤٣؛ سبزواری ، ص ٢٢٢ـ٢٢٣).

بُعد (جمع آن ابعاد) عبارت است از فاصله و امتدادِ قابل اشارة حسی که میان دو حدی که با هم تلاقی و برخورد ندارند قرار گرفته است (ابن سینا، ١٣٦٦ ش الف ، متن عربی ، ص ٣١). مراد از ابعاد در مسئلة تناهی ابعاد، امتدادهای سه گانة طول و عرض و عمق است که بر جسم عارض می شوند و بنابراین قائم به جسم اند و به این اعتبار آنها را ابعاد مادّی می گویند ( رجوع کنید به صدرالدین شیرازی ، ١٣١٣، ص ٧،١٠ـ١١). علاوه بر این ابعاد، برخی حکما قائل به وجود بُعد مجردند، یعنی بُعدی که قائم به جسم و مادّه نباشد، و مکان را چنین بُعدی دانسته اند. در نظر ایشان مکان ، بُعد یا ابعاد میانیِ اطرافی است که یک جسم در میان آن قرار می گیرد و تجرد این ابعاد نظیر تجرد موجودات مثالی است که در عالمی میان عالم عقول و عالم جسمانی قرار دارند. این قول را به افلاطون و پیروان اشراقی او نسبت داده اند ( رجوع کنید به ابن سینا، ١٤٠٥، ج ١، فن ١، ص ١١٥؛ صدرالدین شیرازی ، ١٣٣٧ ش ، سفر دوم ، ج ١، ص ٤٣؛ سبزواری ، ص ٢٥٤). نظر صدرالدین شیرازی (١٣٣٧ ش ، سفر دوم ، ج ١، ص ٤٢ـ ٤٨) و سبزواری (همانجا) نیز در بارة مکان همین است . عده ای از کسانی که در بارة مکان چنین می اندیشند، معتقدند که وقتی چیزی این بُعد را پر کند محال است که آن را خالی کند، مگر اینکه جسم دیگری جای آن را بگیرد و پر کند. بنا بر رأی گروهی دیگر، این بُعد ممکن است گاهی خالی و گاهی پر باشد؛ یعنی به وجود خلأ * نیز قائل اند ( رجوع کنید به ابن سینا، ١٤٠٥، ج ١، فن ١، ص ١١٦). بسیاری از متکلمان مکان را بُعد موهوم دانسته اند ( رجوع کنید به سبزواری ، ص ٢٥٣ـ٢٥٤؛ نیز رجوع کنید به مکان * ). همچنین بنا بر رأی برخی ، برای ابعاد سه گانة طول و عرض و عمق (که از امور ریاضی و تعلیمی به شمار می روند)، فردی عقلانی و مجرد از مادّه در عالم مفارقات موجود است که مبدأ پیدایش افراد مادّی و طبیعیِ این ابعاد در عالم مادّی اند (ابن سینا، ١٣٧٦ ش ، ص ٣٢١ـ٣٢٢؛ صدرالدین شیرازی ، ١٣٣٧ ش ، سفر اول ، ج ٢، ص ٧٣؛ جوادی آملی ، ج ٢، بخش ١، ص ٣٨٨).

رأی مشهور و اجماع حکما بر این است که ابعاد جسم ، متناهی و محدود به حدی است و برای اثبات مدعای خود براهینی اقامه کرده اند ( رجوع کنید به ادامة مقاله ). در عین حال ، بنا بر قول لاهیجی (ج ٢، ص ٣٣٩)، حکمای هند و گروهی از متقدمان و نیز ابوالبرکات بغدادی ( رجوع کنید به ج ٢، ص ٨٥ ـ٨٦) از متأخران ، به عدم تناهی ابعاد قائل شده اند.

ارسطو (ص ١٢٥ـ١٢٧) وجود مقدار نامتناهیِ از طریق افزایش را، چه بالفعل چه بالقوه ، محال دانسته و در این باب برهانی اقامه کرده است . در متون و منابع فلسفة اسلامی نیز برای اثبات تناهی ابعاد براهینی اقامه شده است که عبارت اند از: سُلّم یا سُلّمی ، تطبیق ، تُرسی ، حفظ النسبة ، مُسامتة ، و موازات ( رجوع کنید به ابن سینا، ١٤٠٣، ج ٢، ص ٥٩ ـ٦٠، ٦٨ـ٧٣؛
همو، ١٤٠٥، ج ١، فن ١، ص ٢١٢ـ٢١٥؛
ابوالبرکات بغدادی ، ج ٢، ص ٨٣ ـ٨٤؛
صدرالدین شیرازی ، ١٣٣٧ ش ، سفر دوم ، ج ١، ص ٢١ـ٢٤؛
لاهیجی ، ج ٢، ص ٣٣٩ـ٣٤٣). برهان تُرسی و برهان حفظ النسبة تقریر دیگری از برهان سُلّمی است ( رجوع کنید به لاهیجی ، ج ٢، ص ٣٤١). برهان تُرسی را شیخ اشراق سهروردی ( رجوع کنید به ج ٤، الالواح العمادیة ، ص ٣٩) با تغییر و تصرف در برهان سُلّمی برای تقویت آن در اثبات مدعا ابداع کرده است (لاهیجی ، همانجا).

برهان سُلّم یا سُلّمی . در میان براهین مذکور برای اثبات تناهی ابعاد، این برهان معمولاً بیش از سایر براهین در این باب ، مورد توجه و نقد و بررسی بوده است . این برهان را در متون فلسفة اسلامی ، نخست ابن سینا ( رجوع کنید به ١٤٠٣، ج ٢، ص ٥٩ ـ٦٠، ٦٨ـ٧٠؛
همو، ١٤٠٥، ج ١، فن ١، ص ٢١٥)، با تصحیح و تقریر جدیدی از برهانی که حکمای پیشین اقامه کرده بودند، بیان کرد. عنوان برهان سُلّمی یا سُلّم بدین جهت است که چون شکل آن ــ بنا بر فرضی که در برهان می شود ــ ترسیم شود، شبیه نردبان (= سُلّم ) است (ابن سینا، ١٣٦٦ ش ب ، ص ٣٥٣، پانویس ). تقریر اولیة این برهان بدین شرح است : فرض می کنیم که از نقطة الف ، دو خط مانند دو ساق مثلث تا بی نهایت امتداد یابد. معلوم است که هر قدر طول این دو ساق افزایش یابد، فاصله و بُعد میان آن دو (که به منزلة وتر است ) افزایش می یابد. پس اگر افزایش طول آن دو ساق نهایتی نداشته باشد، بُعد میان آن دو نیز نامتناهی خواهد بود و چون این بُعد یا وترِ نامتناهی در میان آن دو خط واقع شده ، و به عبارت دیگر محصور و محدود میان دو حد است ، اشکال حصرِ نامتناهی لازم می آید و این محال است ، زیرا لازمة حصرِ نامتناهی این است که متناهی باشد و این تناقض است ؛
چون امتداد غیرمتناهی دو ساق مستلزم چنین محالی است ، وجود خود آن دو ساقِ نامتناهی نیز محال است (سبزواری ، ص ٢٢٢).

ابن سینا (١٤٠٥، ج ١، فن ١، ص ٢١٤ـ٢١٥) بر برهان سلّمی اشکال کرده ، سپس با افزودن مقدماتی آن را اصلاح نموده است . اشکال وی بدین شرح است که تعداد نامتناهی افزایش دو ساق ملازم با عدم تناهی بُعد میان آن دو نیست ، چنانکه در عدد نیز هر تعدادی که بر آن افزوده شود حتی به دفعات غیرمتناهی ، باز هم می توان بر آن افزود و هیچ اشکال عقلی لازم نمی آید، زیرا نتیجة حاصل از افزایش متناهی بر مقدار متناهی ، متناهی است («الزائدُ علی المتناهی بقدرِالمتناهی ، مُتَناهٍ»). در فرض دو ساق ممتد مذکور اگر به دفعات نامتناهی بر آنها مقداری اضافه شود، چون هر بار مقداری متناهی به آن دو افزوده می شود، از افزایش مقدار متناهی بر متناهی ، بُعد نامتناهی لازم نمی آید. ابن سینا (همان ، ج ١، فن ١، ص ٢١٥؛
همو، ١٤٠٣، ج ٢، ص ٥٩ ـ٦٠، ٦٨ـ٧٠) سپس با ذکر چهار مقدمه ، تقریر صحیح برهان سلّم را در اثبات تناهی ابعاد عرضه می کند. مقدمة اول : اگر وجود ابعاد غیرمتناهی ممتنع نباشد، پس جایز است که از نقطة واحدی (مثلاً الف ) دو خط نامتناهی مانند دو ساق مثلث (مثلاً خط «الف ب » و «الف ج ») که پیوسته فاصلة میان آنها افزوده می شود، تا بی نهایت امتداد یابد. مقدمة دوم : همچنین جایز است که ابعادی میان دو ساق مذکور فرض شود که به یک نسبت افزایش پذیرد. مثلاً، اگر بُعد اول یک متر باشد، بُعد دوم نیم متر افزون بر بُعد اول یعنی یک مترونیم باشد، و بُعد سوم نیم متر افزون بر بُعد دوم یعنی دومتر باشد و همچنین سایر ابعاد مفروض میان دو ساق مفروض . مقدمة سوم : جایز است که ابعاد میان دوساق مذکور («الف ب » و «الف ج ») نامتناهی باشد، بنابراین ، افزایش تفاوت ابعاد نیز نامتناهی خواهد بود. مقدمة چهارم : در هر بُعدی که میان دو ساق فرض شود علاوه بر مقداری که بر آن افزوده می شود باید مشتمل بر امتداد بُعد قبلی باشد؛
بنابراین ، ممکن است بُعدی موجود باشد که علاوه بر امتداد زائد بر امتداد بُعد قبلی ، مشتمل بر تمام افزوده های ابعاد قبلی اش باشد. نتیجة حاصل از ترکیب و تلفیق مقدمات مذکور این است که یا بُعد واحدی که مشتمل بر تمام افزایشهای نامتناهی مادونش باشد موجود است یا موجود نیست . شق دوم باطل است زیرا در این صورت بین دو ساق «الف ب » و «الف ج »، یا بُعدی موجود خواهد بود که فوق آن بُعدی نیست ، یا بین آن دو ساق ، بُعدی موجود است که فوق آن ، ( بی نهایت ) ابعاد دیگر هست . در صورتی که چنین بُعدی موجود نباشد، انقطاع و در نتیجه تناهی دوساق مذکور لازم می آید و این خلاف فرض است ؛
چون فرض بر عدم تناهی دو ساق مذکور بود. پس مطلوب ، یعنی تناهی ابعاد، ثابت می شود و اگر بُعدی موجود باشد که فوق آن نیز ابعادی مشتمل بر افزایشهای نامتناهی موجود باشد در این صورت لازم می آید که بُعد نامتناهی ، میان دو ساق مذکور واقع شود؛
بنابراین ، نامتناهی محدود و محصور بین دو حد خواهد بود، و این خلاف فرض است ، زیرا هر چیزی که میان دوحد قرار گیرد محدود و متناهی است و به عبارت دیگر لازم می آید که یک چیز هم متناهی و هم نامتناهی باشد، و این تناقض و محال است ؛
پس ، عدم تناهی ابعاد، که مستلزم تناقض و محال است ، خود نیز محال است (ابن سینا، ١٤٠٣، ج ٢، ص ٦١ـ٧٢، شرح نصیرالدین طوسی ؛
همچنین برای اطلاع از اشکالات وارد شده بر این برهان و پاسخهای داده شده رجوع کنید به همو، ١٤٠٤، ج ١، ص ٢٩ـ٣١، شرح فخرالدین رازی ؛
همو، ١٤٠٣، ج ٢، ص ٦١ـ٧٠، شرح قطب الدین رازی ؛
لاهیجی ، ج ٢، ص ٣٤٠ـ٣٤١؛
سبزواری ، ص ٢٢٣ـ٢٢٤).

برهان مُسامته . کره ای فرض می کنیم و یک قطر آن را در نظر می گیریم ، این قطر، متناهی است . در صورتی که بُعد نامتناهی ممکن باشد می توان یک خط نامتناهی به موازات قطر کره فرض کرد. در این حال دو خط موازی وجود دارد: یکی قطر کره و دیگری خط نامتناهی . اگر کره را به سمت خط نامتناهیِ موازیِ قطر کره حرکت دهیم ، در این صورت خط قطری ، از موازاتِ با آن خط نامتناهی خارج می شود و به سمت آن متمایل می گردد. این حالت را مسامته می گویند. در صورتی که وجود خط نامتناهی محال نباشد، لازم می آید مسامته و حرکت کره محال باشد. چون تالی فاسد است ، پس مقدّم نیز باطل است . دلیل بطلان تالی این است که مسامته ، امری حادث است . هر حادثی اول دارد. پس مسامتة قطر کره با خط نامتناهی نیز باید نقطة اول داشته باشد. اگر خط مفروض ، متناهی باشد، اولین نقطة مسامته در رأس آن خط است . اما در این خط نامتناهی ، نقطة اول مسامته نمی تواند موجود باشد، زیرا هر نقطه ای که فرض شود بالاتر از آن نیز نقطة دیگری هست چون نامتناهی است . نمی توان گفت مسامته هم با نقطة تحتانی است و هم با نقطة فوقانی ، چون اولین نقطة مسامته فقط یک نقطه است . همچنین نمی توان گفت که اولین نقطة مسامته ، در نقطة تحتانی است نه در نقطة فوقانی ؛
چون طفره لازم می آید. نیز نمی توان نقطة فوقانی را اولین نقطة مسامته دانست ، چون فوق آن باز نقطة دیگری هست و بالاتر از آن نیز تا بی نهایت نقاط دیگری وجود دارد. در این صورت ، هیچ نقطه ای در این خط نامتناهی اولین نقطة مسامته نیست . پس مسامته بدون اول خواهد بود و این امر، به دلیل حادث بودن مسامته ، محال است . بنابراین فرض و نتیجة حاصل از آن ، حرکت کره محال خواهد بود، حال آنکه حرکت کره محال نیست ، بلکه واقع شده است . پس خط نامتناهی محال است (ابن سینا، ١٤٠٣، ج ٢، ص ٧٣، شرح نصیرالدین طوسی ؛
لاهیجی ، ج ، ص ٣٤٢ـ٣٤٣؛
سبزواری ، ص ٢٢٥). برهان موازات مبتنی بر عکس فرض مذکور در برهان مسامته است (سبزواری ، همانجا). لاهیجی (ج ٢، ص ٣٤٣) این دو برهان را به دلیل اشکالات وارد بر آنها، ضعیف شمرده است (نیز رجوع کنید به ابن سینا، ١٤٠٣، ج ٢، ص ٧١ـ٧٢، شرح قطب الدین رازی ؛
برای توضیح و تقریر برهان تطبیق رجوع کنید به تسلسل * ؛
برای توضیح و تقریر براهین دیگر رجوع کنید به لاهیجی ، ج ٢، ص ٣٤١).

گفتنی است که تناهی ابعاد از مقدّمات برخی مسائل دیگر در علم طبیعی و مابعدالطبیعه (فلسفة اولی ) است ، مانند اثبات محدِّدالجهات که از مسائل علم طبیعی است ، و مانند اثبات تلازم مادّه و صورت که از مسائل امور عامه در مابعدالطبیعه به شمار می رود (ابن سینا، ١٤٠٣، ج ٢، ص ٦٠، شرح نصیرالدین طوسی ، همان ، ج ٢، ص ٦٠ـ٦١، شرح قطب الدین رازی ؛
سبزواری ، ص ٢٢٢؛
نیز رجوع کنید به مادّه و صورت * ؛
فلک * ).

منابع :
(١) ابن سینا، الاشارات والتنبیهات ، مع الشرح لنصیرالدین طوسی و شرح الشرح لقطب الدین رازی ، تهران ١٤٠٣؛
(٢) همو، الالهیّات من کتاب الشّفاء ، چاپ حسن حسن زاده آملی ، قم ١٣٧٦ ش ؛
(٣) همو، حدود، یا، تعریفات ، ترجمة محمد مهدی فولادوند، همراه متن عربی ، تهران ١٣٦٦ ش الف ؛
(٤) همو، شرحی الاشارات ، لنصیرالدین طوسی و لفخرالدین رازی ، ( قاهره ) ١٣٠٦، چاپ افست قم ١٤٠٤؛
(٥) همو، الشفاء،الطبیعیات ، ج ١، الفن الاول : السماع الطبیعی ، چاپ ابراهیم مدکور و سعید زاید، قاهره ١٣٨٥/١٩٦٥، چاپ افست قم ١٤٠٥؛
(٦) همو، فنون سماع طبیعی ، آسمان و جهان ، کون و فساد از کتاب شفا ، ترجمة محمدعلی فروغی ، تهران ١٣٦٦ ش ب ؛
(٧) ابوالبرکات بغدادی ، الکتاب المعتبر فی الحکمة ، حیدرآباد دکن ١٣٥٧ـ ١٣٥٨، چاپ افست اصفهان ١٣٧٣ ش ؛
(٨) ارسطو، سماع طبیعی ، ترجمة محمدحسن لطفی تبریزی ، تهران ١٣٧٨ ش ؛
(٩) عبداللّه جوادی آملی ، رحیق مختوم : شرح حکمت متعالیه ، ج ٢، بخش ١، قم ١٣٧٦؛
(١٠) هادی بن مهدی سبزواری ، شرح منظومه : ( قسمت فلسفه ) ، چاپ سنگی ( تهران ) ١٢٩٨؛
(١١) یحیی بن حبش سهروردی ، مجموعه مصنّفات شیخ اشراق ، ج ٤، چاپ نجفقلی حبیبی ، تهران ١٣٨٠ ش ؛
(١٢) محمدبن ابراهیم صدرالدین شیرازی ، الحکمة المتعالیة فی الاسفار العقلیة الاربعة ، تهران ١٣٣٧ ش ، چاپ افست قم ( بی تا. ) ؛
(١٣) همو، شرح الهدایة الاثیریة ، ( چاپ سنگی تهران ١٣١٣ ) ، چاپ افست ( بی جا، بی تا. ) ؛
(١٤) علی لاریجانی ، «نقد آراء حکما در باب تناهی ابعاد»، در آیت حُسن : جشن نامة بزرگداشت استاد حسن زادة آملی ، زیر نظر مهدی گلشنی ، تهران : پژوهشگاه علوم انسانی و مطالعات فرهنگی ، ١٣٧٤ ش ؛
(١٥) عبدالرزاق بن علی لاهیجی ، شوارق الالهام فی شرح تجریدالکلام ، چاپ سنگی تهران ١٣٠٦.

/ فاطمه فنا /