عروس‌ [١] باطل است؛ و اگر آن اجزاء به يكديگر ملاصق نباشند، بلكه در ميان هر دو جزء فاصله باشد اگر آن فاصله كمتر از يك جزء باشد مستلزم انقسام خواهد بود، و اگر كمتر نباشد وتر با هر دو ضلع مساوى خواهد بود، و آن نيز باطل است به شكل حمارى.

و دليل ديگر: نيز بر تقدير ثبوت مثلّث مذكور اقامه شده است. و بيانش آن است كه نسبت مربّع قطر به مربّع ضلع در مثلّث مذكور ضعف است، به شكل عروس. پس بايد كه نسبت قطر به ضلع نسبتى باشد كه چون او را مكرّر نماييم، يعنى همان نسبت را به خودش اضافه نماييم، ضعف شود، زيرا كه در اصول مبيّن شده است كه نسبت مربّع به مربّع نسبت جذر به جذر است مثنّاة بالتّكرير، مثل آنكه نسبت چهار به دو ضعف است، و نسبت شانزده [١٤] كه مربّع چهار است به چهار كه مربّع دو است ضعف ضعف است. و در عدد نسبتى كه به تكرير ضعف شود نمى‌باشد. زيرا كه هر دو عددى كه أحدهما ضعف ديگرى باشد البتّه براى يكى جذر نخواهد بود، و الّا بايد كه در جميع اعدادى كه بر اين نسبت باشند جذر باشد، به دليل آنكه هر دو عددى كه بر نسبت دو مربّع باشند و أحدهما مربّع باشد بايد كه آن ديگرى نيز مربّع باشد.

و از اين بيان ظاهر شد كه نسبت قطر مربّع به ضلع از نسبى است كه در مقادير مى‌باشد نه در اعداد. و تحقّق نسبت صمّيّه در اجسام دليل ديگر است بر اتّصال آنها.

و ايضا دليلى ديگر: كه بر فرض مثلّث قائم الزّاويه اقامه مى‌شود، آن است كه چون هر ضلع از آن زاويه پنج جزء باشد مربّع وتر پنجاه خواهد بود، به حكم عروس. و چون يك طرف وتر به قدر يك جزء كشيده شود و يك ضلع و شش جزء گردد بايد كه ضلع ديگر چهار جزء شود، و در اين صورت مربّع وتر پنجاه و دو خواهد بود.

به دليلى ديگر در مقاله دوم كتاب اصول مبيّن شده است كه ممكن است تقسيم هر خطّى به نحوى كه ضرب تمام خط در احد القسمين مساوى مربّع قسمى ديگر باشد. و اين معنى در هيچ خطّى از خطوط مركّبه از اجزاء درست نمى‌آيد. مثلا چون خط از سه جزء مركّب باشد تقسيم آن بجز آنكه يك قسم آن واحد و قسمى ديگر اثنين باشد به نحوى ديگر

[١] . ملى: به شكل عروس.