شارح فاضل در شرح هدايه گفته است كه در كلام صاحب محاكم نظرى هست، زيرا قياس كلّ مجموعى بر كلّ افرادى صحيح نيست، پس از آنكه نسبت هر زيادتى بعدى به زيادتى بعدى ديگر مثل نسبت عدد زيادات موجوده در آن بعد به عدد زيادات موجوده در بعد ديگر باشد، لازم نمى‌آيد كه بعدى متحقّق باشد كه نسبت زيادتى آن به زيادتى بعدى ديگر مثل نسبت عدد زيادات غير متناهيه به عدد زيادات متناهيه باشد، زيرا كه مى‌تواند بود كه به ازاء مجموع زيادات بعدى نباشد اگر چه به ازاء هر عدد زياده بعدى باشد.

و اگر كسى گويد كه بودن مجموع اعداد زيادات در بعدى معلّل به آن نيست كه هر عدد زياده در بعدى است تا منع بر آن وارد آيد، بلكه معلّل است به آنكه نسبت آن بعد به بعدى ديگر مثل نسبت اين عدد است به عدد زيادتى كه در آن يافت شده است، و بر مجموع عدد زيادات غير متناهيه صادق است كه عدد زيادتى است، پس بايد كه در بعدى بوده باشد كه نسبت آن به بعد متناهى مثل نسبت عدد غير متناهى به عدد متناهى بوده باشد.

مى‌گوييم كه اگر مراد از آنكه هر عدد زيادتى در بعدى موجود است آن است كه هر عدد غير متناهى چنين است مسلّم است، لكن از آن لازم نمى‌آيد كه عدد غير متناهى از زيادات در بعدى موجود باشد؛ و اگر [٢١٢] مراد مطلق عدد است خواه متناهى و خواه غير متناهى مسلّم نيست، و چگونه مى‌تواند شد كه كسى كه قضيّه شخصيّه را منع مى‌كند قضيّه كليّه را مسلّم بدارد. و اگر اين مقدّمه ثابت شود در اثبات اين مطلب كافى خواهد بود.

و بعضى گفته‌اند كه اولى در تقرير به برهان مذكور آن است كه اوّلا دو ساق مثلّث را تا به غير نهايه فرض نماييم و در انفراج ميان آن دو ساق ابعاد غير متناهيه متزايد زايد بر بعد اصل فرض كنيم، پس در اين صورت زيادات بر بعد اصل غير متناهيه متساويه موجود خواهد بود و ابعاد غير متناهيه متفاضله به قدر واحد نيز موجود خواهد بود، پس هر زيادتى و هر مجموع زياداتى واقع در بعدى از آن ابعاد خواهد بود، و الّا لازم مى‌آيد كه بعدى موجود باشد كه مشتمل باشد بر جمله زيادات واقعه در تحت آن، و بر آن و بر مزيد بر آن بعدى مشتمل نباشد كه در فوق آن باشد، پس آن آخر ابعاد خواهد بود، و اين خلف است.

پس هر زيادتى و هر مجموع زياداتى كه هست در بعدى كه فوق آن است موجود است، پس مجموع زيادات غير متناهيه در بعد فوق آنها موجود خواهد بود، پس غير متناهى محصور