ثم قرر البرهان المذكور بفرض نقطتين متقابلتين على الخطين الذاهبين إلى غير النهاية و خط و اصل بينهما يكون وتر لزاوية التقاطع مسمى بالبعد الأصل و خطوط أخر عرضية غير متناهية زائدة على الأصل متزايدة على نهج واحد ليحصل زيادات غير متناهية على ذلك البعد موجودة بغير نهاية يكون تلك الزيادات متساوية ليلزم وجود بعد واحد مشتمل على جميع تلك الزيادات المتساوية الغير المتناهية على البعد الأصلي لكون كل زيادة توجد في بعد فهي موجودة فيما فوقه و البعد المشتمل على الزيادات المتساوية الغير المتناهية زائد على البعد الأول بما لا نهاية فيكون غير متناه فيلزم الخلف.

و أورد عليه صاحب «المحاكمات» بمثل ما أورده على التقرير السابق بمنع وجود بعد مشتمل على تلك الزيادات الغير المتناهية بل كل مرتبة من مراتب الزيادات لا يزيد على مرتبة تحتها إلا بزيادة واحدة و أيضا كون الزيادات متساوية أو متناقصة لا يتفاوت في بيان المقصود إذ لو حصل بعد مشتمل على الزيادات الغير المتناهية لكان ذلك البعد غير متناه سواء كانت الزيادات متساوية أو متناقصة فلا فايدة في فرض تساوي الزيادات. فأجاب عن الإيراد بأن نسبة زيادة البعد إلى زيادة البعد إذا كانت كنسبة عدد الزيادات إلى عدد الزيادات كل لنظيره أو كنسبة عدد الأبعاد إلى عدد الأبعاد كذلك حيث فرض الزيادات متساوية، فإذا كان عدد مجموع الزيادات المتساوية على البعد الأول غير متناه فيلزم وجود بعد مشتمل على تلك الزيادات الغير المتناهية بحكم الأربعة المتناسبة، و النسبة إنما تكون محفوظة إذا فرض الزيادات متساوية، و أما إذا كانت متناقصة فلا لعدم انخفاض النسبة فلم يلزم الخلف و لا يتوجه عليه ما أوردوا على برهان التناسب المشهور لإبطال مذهب النظام من منع كون نسبة الزيادة إلى الزيادة كنسبة عدد الزيادات إلى عدد الزيادات إذ الأول من النسب المقدارية التي يمكن أن تكون صماء، و الثاني من النسب العددية التي لا يمكن ذلك فيها لأنه حيث فرض الزيادات متساوية و لكل زيادة مقدار فزيادة الزيادات يزيد مقدار المجموع على نسبة عدد الزيادات، فنسبة الزيادة إلى الزيادة كنسبة العدد إلى العدد و لا يكون صماء، هذا ما قيل في تتميم كلام المحاكم.

أقول: و قد بقي بعد و في كلامه نظر و هو أن قياس الكل المجموع على الكل‌