كه عبارت است از ضروريات و خواه يقينى به واسطه اوليات كه عبارت است از نظريات. (تعريفات جرجانى) ابن سينا گويد: «برهان قياسى است مركب از يقينيات براى كسب نتيجه يقينى.» (نجات) در برهان بايد حد وسط علت انتساب اكبر به اصغر باشد.

اگر برهان [فقط] علت اجتماع طرفين نتيجه را در ذهن بيان كند، برهان انّ‌ ناميده مى‌شود و اگر علت اجتماع طرفين نتيجه را، هم در ذهن و هم در خارج بيان كند برهان لمّ‌ ناميده مى‌شود. ابن سينا گويد: «برهان مطلق، برهان لمّ و برهان انّ است. برهان لم برهانى است كه فقط علت اجتماع طرفين نتيجه را در ذهن بيان نمى‌كند، تا فايده آن اين باشد كه علت تصديق را بيان كرده باشد، بلكه علت اجتماع آنها در وجود را نيز بيان مى‌كند.» (نجات) «اما برهان انّ، برهانى است كه علت اجتماع طرفين نتيجه را در ذهن و علت تصديق به آن را بيان مى‌كند» نه چيز ديگرى. (نجات).

قدما لفظ برهان را فقط به معنى استنتاج عقلى، يا استنتاجى كه نتيجه را ضرورة از مقدمات برآورد به كار مى‌بردند. اما فيلسوفان جديد، اين اصطلاح را هم در مورد استدلال عقلى و هم در مورد استدلال تجربى به كار مى‌برند.

مقصود از استدلال تجربى، استدلالى است كه متكى به تجارب و اشياء و حوادث است. مانند استدلال استاد در كلاس درس كه يك قانون علمى را با تجربه [و آزمايش‌] اثبات مى‌كند، يا استدلال وكيل مدافع، كه صحت ادعاى خود را با ارائه بعضى اسناد يا بعضى حوادث، اثبات مى‌كند.

كامل‌ترين شكل برهان، برهان رياضى است. زيرا استدلالى است مركب از قضاياى يقينى كه نتيجه يقينى از آن برآيد. برهان رياضى به برهان تحليلى و برهان تأليفى تقسيم مى‌شود.

برهان تحليلى، حركت از نتيجه به سوى مقدمات است، يعنى حركت از قضيه‌اى كه اثبات آن مطلوب است به قضايائى كه ساده‌تر از آن است. دوهامل (Duhamel( در اين مورد گفته است: «اين روش تحليلى ناميده مى‌شود و مبنى بر تركيب سلسله‌اى از قضاياست كه اولين آنها قضيه‌ايست كه اثبات آن مورد نظر است و آخرين آنها قضيه‌ايست كه [قبلا] اثبات شده و معلوم ماست. در اين سير، از اولين قضيه به سوى آخرين قضيه، هر قضيه‌اى نتيجه قضيه بعد از خود است و اولين قضيه، خود نتيجه آخرين قضيه، و مثل آن، صادق است.» اگر اين تحليل مستقيم ممكن نباشد، رياضى دان، طريق غير مستقيم را پيش خواهد گرفت. يعنى به جاى خود قضيه، نقيض آن را تحليل مى‌كند و از اين تحليل نتيجه مى‌گيرد كه نقيض قضيه، كاذب است.

و در نتيجه خود قضيه، صادق است. اين برهان را برهان خلف گويند. برهان خلف، برهان الزام است نه برهان ايضاح. مقصود اين است كه در اين برهان، عقل نتيجه را مى‌پذيرد، بدون اينكه قضيه مطلوب را به قضاياى اولى واضح ارجاع دهد. در مورد برهان خلف گفته‌اند: برهانى است كه در آن اثبات مطلوب از طريق ابطال نقيض آن انجام مى‌شود.

برهان تأليفى، بر عكس برهان تحليلى سير نزولى و حركت از مقدمات به سوى نتايج است. مانند استنتاج‌هاى رياضى كه نتيجه ضرورة از مقدمات برمى‌آيد. مقدمات و مبادى، در اينجا عبارت از اصول موضوعه و تعريفات و مصادرات است.

در روند تحليل و تأليف، يك سلسله از قضايا بيشتر وجود ندارد، اما جهت حركت در اين دو متفاوت است و جهت تحليل ضد جهت تأليف است.

خلاصه برهان نظرى بر اثبات شى‌ء، عبارت از استنتاج آن شى‌ء از مبادى عقلى ضرورى است. هر علمى كه حقايق آن متكى بر اوليات عقلى باشد، علم برهانى است. مانند رياضيات كه حقايق آن، حقايق اولى است، بر خلاف علوم طبيعى كه حقايق آن غير اولى و ثانوى است. به اين طريق، علوم فيزيكى نمى‌توانند برهانى به اين معنى باشند، مگر اينكه بتوان قوانين آنها را از مبادى كلى ضرورى استنتاج كرد، مانند مبادى مكانيك و قوانين حركت.

دكارت گويد: «اين سلسله طولانى استدلال‌هاى ساده و آسان كه علماى هندسه بر حسب عادت، براى دست يافتن به مشكل‌ترين براهين استعمال مى‌كنند، من را بر آن داشت تا گمان برم كه تمام اشيائى كه در حوزه شناخت انسان قرار دارند، به يك صورت واحد، در پى هم، وارد ذهن مى‌شوند و اگر انسان از پذيرفتن آنچه ناحق است بپرهيزد و ترتيبى را كه براى استنتاج امور از يكديگر بايد رعايت كرد رعايت كند چيز دور از دسترسى وجود ندارد كه انسان نتواند آن را به دست آورد و چيز پنهانى نيست كه انسان نتواند آن را كشف كند» ١ (رساله گفتار، بخش دوم) پس علوم رياضى در نظر دكارت نمونه عالى معرفت است و براهين آن دقيق‌ترين براهين است. زيرا اين براهين از مقدمات يقينى تركيب شده و نتايج يقينى به دست مى‌دهد.