مى‌دانى كه برهان‌ها از طريق حد اوسطهاى بين دو حد [- اكبر و اصغر] پديد مى‌آيند، و ممكن نيست كه بين هر دو حد اوسط حدود اوسطهائى به تعداد حدود اوسطهاى بين دو طرف اول [- حد اكبر و حد اصغر اولين برهان‌] وجود داشته باشد: زيرا در هر ترتيب عددى، خواه متناهى و خواه نامتناهى، ناچار هر عددى تالى عدد ديگر است. و اگر مثلا بين «ج» و «ب» حدود اوسطهاى نامتناهى باشد، دو محال لازم مى‌آيد: اول آن‌كه بايد بين هر دو حد اوسط حدود اوسطهائى نامتناهى به تعداد حدود اوسطهاى نامتناهى موجود بين دو طرف [- حد اكبر و حد اصغر] وجود داشته باشد، و در اين حال لازم مى‌آيد كه جزء [حدود اوسطهاى بين حدود اوسطهاى موجود بين دو طرف‌] كه از دو طرف محصور بوده و مركب است، [در نامتناهى بودن‌] مثل كل حاصر [- دو طرف+ حدود اوسطهاى نامتناهى‌] باشد- و اين خلف است. و ديگر آن‌كه لازم مى‌آيد كه هريك از اين حدود اوساط، هرچند اين حدود اوساط به طرف بى‌نهايت ميل مى‌كنند، داراى دو حد اوسط هم‌جوار باشد. و روشن است كه بين آن و بين حد اوسط هم‌جوار، ديگر واسطه‌اى نيست: پس در اين صورت بعضى از مقدماتى كه در زمره‌ى حد اوسط هستند، حد اوسط نخواهد داشت، در حالى‌كه اين مقدمه از مبادى برهان است. و فرض اين بود كه هر علمى داراى حد اوسط است: و حال آن‌كه معلوم شد كه بعضى از مبادى برهان غير معلوم است: و اين خلف است.

(١٥٩) فبيّن إذن أنه ليس كل علم ببرهان. و أن بعض ما يعلم يعلم بذاته بلا وسط، فيكون عند النهاية فى التحليل، و يكون هو و ما يجرى مجراه المبدأ الذى تنتهى اليه مقدمات البراهين. فلا يكون أيضا ما ظنّ من أن مقدمات البراهين إما أن تكون بلا نهاية، أو توقف فى كل برهان عند أصل موضوع بلا بيان حقا. بل الحق أن ذلك ينتهى إلى بيّن بنفسه بلا واسطة.

(١٥٩) پس روشن شد كه اين‌طور نيست كه هر علمى برهان داشته باشد. و بعضى از آنچه كه دانسته مى‌شود در واقع بدون حد اوسط دانسته مى‌شود، و چنين چيزى در تحليل در نهايت قرار مى‌گيرد، و آن و جارى مجراى آن چيزى است كه مقدمات براهين به آن منتهى مى‌شود. هم‌چنين اين گمان هم درست نيست كه مقدمات براهين يا بايد بى‌نهايت باشد يا در هر برهان به اصل موضوعى تبيين نشده توقف كند. بلكه صحيح اين است كه اين [سلسله‌] به آنچه بدون حد اوسط خودبخود بيّن است منتهى گردد.