در پاسخ: عددى را كه براى يك چهارم آن، يك سوم، و عدد ديگرى كه براى يك پنجم آن، يك ششم باشد پيدا كن سپس عددى را كه بر آن دو قابل قسمت باشد پيدا كن؛ آنگاه به عدد مورد نظر دست پيدا مى‌كنى.

و اگر گفته شود: كدام عدد است كه باقيمانده از آن پس از يك چهارم و يك ششم، بر «٥» مثلاً قابل قسمت است؟

درپاسخ: عددى را كه براى آن يك چهارم و يك ششم باشد، پيدا كن؛ آنگاه يك چهارم و يك ششم آنرا، از آن كم كن؛ سپس به باقيمانده نظركن اگر عدد «٥» با آن متباين باشد، آن را در عدد اوّل ضرب كن تا به عدد مورد نظردست يابى، و اگر عدد «٥» با عدد باقيمانده متشارك يا متداخل باشد براى به‌دست آوردن عدد مورد نظر بر اساس قانونى كه بيان كرديم عمل كن وباللّه التوفيق‌[١].

[١]. تا به حال مرحوم مصنف تحت عنوان مقدّمه، تتمّه و سه فصل به توضيح و ذكر مثال براى برخى اصطلاحات و قواعد علم حساب پرداختند.

ما نيز براى روشن شدن اصطلاحاتى بسان« تماثل»،« تداخل»،« توافق»،« تباين»،« وفق»،« عادّ»،« جزء» و مانند آن از اصطلاحات رياضى قديم و نيز روشن شدن كلمات مرحوم خواجه مطالبى را از خلاصةالحساب مرحوم شيخ بهايى‌[ الباب الثاني في حساب الكسور] نقل مى‌كنيم؛ فقيهان نيز به مناسبت دركتاب ارث به شرح اين اصطلاحات پرداخته‌اند مثل آنچه در جواهر، ج ٣٩، ص ٣٤٦- ٣٤٩ و نيز شرح لمعه، ج ٨، ص ٢٢٥- ٢٣٥ مشاهده مى‌شود؛ اينك ريز مطالب:

١) مطلب اوّل: شيخ بهايى در خلاصة الحساب مى‌گويد:« كلّ عددين غير الواحد إن تساويا فمتماثلان. و إلاّ فإن أفنا اقلُّهما الأكثرَ فمتداخلان. و إلاّ فإن عدّ هما ثالث فمتوافقان. و الكسر الّذي هو مخرجه وِفْقُهما. و إلاّ فمتباينان». توضيح مطلب ايشان از اين قرار است:

دو عدد غير از عدد يك را وقتى باهم مقايسه كنيم از چهار حال بيرون نيستند:

الف) متماثلان: عبارتند از دو عددى كه درمقدار با يكديگر مساوى باشند مانند« ٢ و ٢» و« ٤ و ٤».

ب) متداخلان: عبارتند از دو عددى كه يكى بزرگتر و ديگرى كوچكتر باشد به شرطى كه اگر عدد كوچكتر را دو بار يا سه بار يا بيشتر تكرار كنيم به مقدار عدد بزرگتر شود. و به ديگر سخن عدد كوچكتر عدد بزرگتر را فانى سازد؛ يعنى اگر دوبار يا سه بار يا بيشتر، عدد كوچكتر را از عدد بزرگتر كم كنيم عدد بزرگتر تمام مى‌شود بدون اينكه باقيمانده بياورد؛ مثل« ٣ و ٦»،« ٤ و ٨». متداخلان را متناسبان هم مى‌گويند. در دو عدد متداخل، عدد كوچكتر از نصف عدد بزرگتر تجاوز نمى‌كند بلكه داخل درآن است.

ج) متوافقان: عبارتند از دو عددى كه يكى بزرگتر و ديگرى كوچكتر باشد به شرطى كه عدد كوچكتر عدد بزرگتر را فانى نكند ولى هر دو به يك عدد سوم قابل قسمت باشند؛ مثل« ٦ و ١٠» كه« ٢» هر دو را فانى مى‌كند و مانند« ٩ و ١٢» كه« ٣» هر دو را فانى مى‌كند.

در دو عدد متوافق اگر عدد كوچكتر را از بزرگتر يك يا چند بار كم كنيم بيش از يك باقى مى‌ماند؛ مانند« ١٠ و ١٢» كه پس كم كردن« ١٠» از« ١٢» دو تا باقى مى‌ماند كه اگر« ٢» را چند بار از« ١٠» كم كنيم فانى مى‌شود.

سپس نگاه مى‌كنيم كه آن عدد قابل قسمت بر هر دو، مخرج كدام كسر از كسو ر نه گانه است مثلاً اگر« ٣» بود چون« ٣» مخرج( ٣) است مى‌گوييم آن دو عدد درثلث متوافق هستند.

و راهش اين است كه عدد كوچكتر را از عدد بزرگتر كم كنيم اگر باقيماند ه« ٢» بود مى‌گوييم آن دو عدد متوافق درنصف‌[/ ٢] هستند. واگر باقيمانده« ٣» بود مى‌گوييم متوافق درثلث‌[/ ٣] هستند و اين راه حل تا« ١٠» پياده مى‌شود؛ در اين صورت موافقت دو عدد به يكى از كسرهاى نه گانه مفرد است.

و اگر عدد سومى كه اين دو عدد را فانى مى‌كند بزرگتر از« ١٠» باشد از دو حال خارج نيست:

ياعددى كه دو عدد مورد نظر را فانى مى‌كند و بزرگتر از ده است، مضاف است؛ مانند« اثنى عشر»[/ ١٢]،« اربعة عشر»/[ ١٤]،« خمسة عشر»[/ ١٥]؛ در اين صورت موافقت آن دو عدد در كسر مضاف منسوب به جزء است؛ مانند يك دومِ يك ششم در اوّلى، و يك دومِ يك هفتم در دومى، و يك سوم يك پنجم در سومى.

٢- و يا آن عدد أصمّ است و به كسر مُنطق و يا جزء آن بر نمى‌گردد؛ مانند:« أحد عشر»[/ ١١]،« ثلاثة عشر»[/ ١٣]،« سبعه عشر»[/ ١٧]،« تسعة عشر»[/ ١٩]،« ثلاثة و عشرين»[/ ٢٣]؛ دراين صورت موافقت در جزء آن عدد است.

[ بادقت درمطالب بعدى و روشن شدن اصطلاحات« اصمّ»،« منطق»،« جزء»، معناى عبارت بالا مشخص مى‌شود].

مثلا در دو عدد« ٢٢» و« ٣٣» كه تنها« ١١» آن دو را فانى مى‌كند، موافقت آنها درجزء از يازده است؛ لذا يكى از دوعدد« ٢٢» و« ٣٣» به جزء از« ١١» ردّ مى شود و درعدد ديگر ضرب مى‌شود؛ درنتيجه« ٢» در« ٣٣» يا« ٣» در« ٢٢» ضرب مى‌شود.

د) متبانيان: عبارتند از دو عددى كه يكى بزرگتر و ديگرى كوچكتر باشدو ميان آن دو تداخل و توافق نباشد.

در دو عدد متباين اگر عدد كوچكتر را يك بار يا چند بار از عدد بزرگتر كم كنيم باقيماند ه« ١» مى‌شود مانند« ١٣» و« ٢٠» كه اگر« ١٣» از« ٢٠» كم شود،« ٧» تا باقى مى‌ماند، و اگر« ٧» از« ١٣» كم شود،« ٦» تا باقى مى‌ماند و اگر« ٦» از« ٧» كم شود يكى باقى مى‌ماند.

٢) مطلب دوم: طرزتشخيص نسب اربع: براى تشخيص اينكه ميان دو عدد كداميك از نسبتهاى چهارگانه برقرار است مرحوم شيخ بهايى قاعده‌اى به اين صورت بيان مى‌كند:

« التماثل بيّن. وتعرف البواقي بقسمة الأكثر على الأقلّ؛ فإن لم يبق شي‌ء فمتداخلان. و إن بقى قسّمناالمقسوم عليه على الباقي و هكذا إلى إن لايبقى شي‌ء، فالعددان متوافقان. والمقسوم عليه الأخير هو العادّ لهما. أو يبقى واحد فمتباينان».

توضيح مطلب: شناخت« تماثل» آسان است. و طرز تعيين آن سه نسبت ديگر از اين قرار است: عدد بزرگتر را بر عدد كوچكتر تقسيم مى‌كنيم اگر باقيمانده نداشت مى‌فهميم كه نسبت ميان آن دو عدد« تداخل» است مانند« ٤ و ٨»،« ٦ و ١٢».

واگر باقيمانده داشت، مقسوم عليه را بر باقيمانده تقسيم مى‌كنيم اگر چيزى باقى نماند عمل تمام است، اگر دو مرتبه باقى ماند باز مقسوم عليه دوم را بر باقيمانده دوم تقسيم مى‌كنيم تاجايى كه باقى نماند اگر اين عمليّات واقع شد معلوم مى‌شود ميان اين دو عدد« توافق» است؛ مانند« ٤ و ٦» كه وقتى« ٦» را بر« ٤» تقسيم مى‌كنيم باقيمانده« ٢» مى‌شود سپس مقسوم عليه را كه« ٤» باشد بر« ٢» تقسيم مى‌كنيم باقيمانده ندارد پس معلوم مى‌شود ميان اين دو عدد توافق است. و مقسوم عليه آخر[ درمثال فوق« ٢»]« عادّ» اين دو عدد مى‌باشد.

چنانكه كسرى كه مقسوم عليه آخر مخرج آن است« وفق» آن دوعدد نام داشت. و اگر باقيمانده« ١» باشد ميان اين دو عدد« تباين» است؛ مثل« ٥ و ٧» كه وقتى عدد« ٧» را بر« ٥» تقسيم مى‌كنيم باقيمانده عدد« ٢» مى‌شود، سپس« ٥» را به« ٢» تقسيم مى‌كنيم باقيمانده عدد« ١» مى‌شود؛ پس معلوم مى‌شود بين« ٥» و« ٧» تباين است.

٣) مطلب سوم: اينكه شيخ فرمود« كل عددين غير الواحد ...» به خاطر آن است كه در اصطلاح رياضى قديم،« ١» عدد شمرده نمى‌شود. صاحب جواهر در ج ٣٩ ص ٣٤٧ گفته است:« الواحد الّذي هو ليس عدداً بإصطلاحهم».

شيخ بهايى در اوّل خلاصة الحساب در مقام تعريف عدد گفته است:« العدد قيل: كمّيّة يطلق على الواحد و ما تألّف منه؛ فيدخل الواحد. وقيل: نصف مجموع حاشيتيه؛ فيخرج.

وقد يتكلّف لإدراجه؛ بشمول الحاشيه الكسر. و الحقّ إنّه ليس بعدد و إن تألّف منه الأعداد».

توضيح مطلب: بين علماى رياضى درتعريف عدد اختلاف است كه مرحوم شيخ بهايى به دو تعريف اشاره مى‌كند:

اوّل: تعريفى كه صاحب شمسيّه وصاحب مفتاح الحساب‌[/ شيخ غياث الدين‌] نموده‌اند؛ و آن اين است: عدد كمّيّتى است كه بر يك و آنچه از يك درست مى‌شود يعنى دو و سه و ... اطلاق مى‌شود؛ بنابراين تعريف، يك داخل در افراد عدد است.

دوم: برخى ديگر چنين تعريف كرده‌اند: عدد كميتى است كه نصف حاصل جمع دو طرف خود[/ عدد قبلى و عدد بعدى‌] باشد؛ مانند عدد« ٢» كه قبل از آن« ١» و بعد از آن« ٣» مى‌باشد و حاصل جمع اين دو،« ٤» است و نصف آن عدد( ٢) مى‌شود؛ بنابراين تعريف بر« ١» اطلاقِ عدد نمى‌شود؛ چون قبل از آن چيزى نيست.

البته ممكن است با مشقت و تكلف، حتى بنابر تعريف دوم هم يك داخل در اعداد باشد به اين بيان:

حاشيه يعنى ماقبل و مابعد، و اين معنا هم مقادير صحيحه سازگار است و هم با مقادير مكسوره مانند« ٢» و« ٢ ١» و« ٢ ٢» و ...؛ بنابر اين وقتى ماقبل« ١» را كه« ٢»[/ ٥/ ٠] باشد با مابعدش يعنى« ٢ ١»[/ ٥/ ١] جمع كنيم، حاصل جمع« ٢» مى‌شود و نصف آن« ١» است؛ پس تعريف دوم شامل« ١» هم شد.

ولى حق اين است كه« ١» عدد نيست اگر چه تمام اعداد از آن درست شده‌اند. و اصولاً درحاقّ ونهان عدد، مفهوم تكثّر و تعدّد ملاحظه شده واين لحا ظ با يك ساز گار نيست.

٤) مطلب چهارم اقسام عدد: شيخ بهايى در اوايل رساله خود مى‌گويد:« و هو إمّا مطلق فصحيح، أو مضاف إلى ما يفرضُ واحداً فكسر و ذلك الواحد مخرجه. و المطلق إن كان له أحدالكسور التسعة أو جذر فمُنْطِق و إلاّ فأصمّ. والمنطق ان ساوى أجزائه فتامّ، او نقص عنها فزائد، أو زاد فناقص».

توضيح مطلب: در اين عبارت به بيان اقسام عدد پرداخته شده كه از اين قرار است:

عدد مطلق: آن است كه به قياس و ملاحظه عدد ديگر درنظر گرفته نشود مانند اعداد:

« ٢، ٣، ٤، ٥، ٦، ٧ و ...».

به عدد مطلق عدد صحيح نيز گفته مى‌شود.

عدد مضاف: آن است كه به عدد ديگر نسبت داده شده است، و درعدد مضاف اليه دو چيز معتبر است:

١- بايداز عدد مضاف بزرگتر باشد.

٢- بايد آن را با جميع أجزايش واحد حساب كنيم و عدد مضاف را به آن واحد نسبت دهيم. به عدد مضاف« كسر» مى‌گويند.

مثلاً هرگاه عدد« ٢» را به« ٥» نسبت دهيم و بگوييم دو پنجم؛ معنايش اين است كه عدد« ٥» را با جميع اجزايش واحد حساب كرده‌ايم و دو تا از آن را برداشته و به آن نسبت داده‌ايم كه آن را درحساب به اين طريق مى‌نويسند:( ٥).

عدد« ٢» را كسر گفته و عدد« ٥» رامخرج كسر، و آن خط بين« ٢» و« ٥» را خطّ كسرى مى‌گويند.

عدد مطلق و صحيح داراى دو قسم است: مُنطِق و أصمّ.

عدد مُنْطِق: عبارت است از عددى كه يا داراى كسر باشد[ يكى از كسور نه گانه‌] و يا داراى جذر.

منظور از جذر آن است كه اگر عددى را بر عدد ديگر تقسيم كنيم، حاصل همان عدد مقسوم عليه شود مانند عدد« ١٦» كه اگر آن را بر عدد« ٤» تقسيم كنيم، حاصل همان عدد« ٤» مى‌شود؛ لذا عدد« ٤» را جذر و عدد« ١٦» را مجذور گويند. شيخ در رساله خود مى‌نويسد:« المضروب فى نفسه سمّي جذراً»؛ يعنى عددى كه در خودش ضرب مى‌شود در علم حساب، جذر ناميده مى‌شود. و عددى را كه مى‌خواهيم جذرش را بگيريم اگر كوچك باشد استخراج جذرش كار مشكلى نيست به شرطى كه از اعداد مُنْطِقه باشد مانند« ٤» و« ٩» كه جذر اولى« ٢» و جذردومى« ٣» مى‌باشد. و اگر عدد اصمّ باشد جذرِ تحقيقى ندارد بلكه جذرش تقريبى است.

و منظور ازكسور تسعه اين كسور هستند:

نصف ثُلث رُبع خُمس سُدس سُبع ثُمن تُسع عُشر

٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ١٠

بنابر اين عدد منطق بر سه قسم است:

اوّل: آن كه هم داراى كسر باشد و هم جذر؛ مانند« ٤» و« ٩».

دوم: آنكه فقط يكى از كسور نه گانه داشته باشد؛ مانند« ١٢» كه نصف و ثلث و ربع و سدس دارد.

سوم: آنكه فقط داراى جذر باشد؛ مانند« ١٢١» كه جذر آن« ١١» است.

عدد أصمّ: عبارت است از عددى كه نه جذر داشته باشد و نه كسر؛ مانند« ١١».

وجه تسميه: عدد مُنطق را از آن جهت كه به جذر و كسر خود گوياست به اين نام ناميده‌اند. و عدد أصمّ چون به اين دو گويا نيست چنين نام گرفته است.

عدد مُنطق بر سه قسم است: تامّ، زائد، ناقص.

عدد تام: عبارت است از عدد مُنطقى كه وقتى اجزاى كسرى آن را باهم جمع مى‌كنيم با آن عدد مساوى باشند؛ مانند عدد« ٦» كه اجزاى آن سه تاست:

١- نصف؛ كه عدد« ٣» مى‌شود.

٢- ثُلث؛ كه عدد« ٢» مى‌شود.

٣- سُدس؛ كه عدد« ١» مى‌شود.

عدد زائد: عبارت است از عدد مُنطقى كه وقتى اجزاى كسرى آن را با هم جمع مى‌كنيم بيشتر از آن عدد باشند:

مانند عدد« ١٢» كه اجزاى كسرى آن چهار تاست:

١- نصف؛ كه عدد« ٦» است. ٢- ثلث؛ كه عدد« ٤» است.

٣- ربع؛ كه عدد« ٣» است.

٤- سدس؛ كه عدد« ٢» است.

كه مجموع آنها« ١٥» مى‌شود كه از« ١٢» سه رقم بيشتر است.

عدد ناقص: عبارت است از عدد منطقى كه وقتى اجزاى كسرى آن را با هم جمع مى‌كنيم كمتر از آن عدد باشند؛ مانند عدد« ٩» كه اجزاى كسرى آن دو تاست:

١- ثُلث؛ كه عدد« ٣» است.

٢- تُسع؛ كه عدد« ١» است.

كه مجموع آنها« ٤» مى‌شود كه از عدد« ٩» پنج عدد كمتر است.

تقسيمات ديگرى نيز براى عدد وجود دارد كه شيخ الرئيس در كتاب شفاء و مرحوم‌شيخ غياث الدين در مفتاح الحساب آورده‌اند يكى از آن تقسيمات عبارت است از تقسيم عدد به مفرد و مركب.

عدد مفرد: آن است كه فقط داراى يك مرتبه باشد؛ مانند اعداد آحاد چون« ٤»، وعشرات چون« ٤٠»، و م‌آت، نظير« ٤٠٠»، و ألوف مانند« ٤٠٠٠».

عدد مركب: آن است كه داراى دو مرتبه يا بيشتر باشد مانند تركيب آحاد با عشرات چون تركيب« ٢» با« ١٠» كه« ١٢» مى‌شود. و مانند تركيب عشرات با م‌آت مثل تركيب« ١٣» با« ٣٠٠» كه« ٣١٣» مى‌شود.

٥) مطلب پنجم: تقسيمات كسر: براى كسر نيز اقسامى وجود دارد كه مرحوم شيخ بهايى در رساله خود به آن اشاره مى‌كند:

« ثم الكسر إمّا مُنطق و هو الكسور التسعة المشهورة، أو أصمّ؛ و لايمكن التعبير عنه إلاّ بالجزء. و كلّ واحد منهما إمّا مفرد كالثلث و جزء من أحد عشر، أو مكرّر كا لثُلثين و جز ئين من أحد عشر، أو مضاف كنصف السُدس، و جزء من أحد عشر من جزء من ثلاثة عشر أو معطوف كالنصف و الثلث، و جزء من أحد عشر و جزء من ثلاثة عشر».

توضيح مطلب: كسر يا منطق است و آن عبارت است از كسور نه گانه مشهور كه عبارتند ا ز:

٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ١٠

و يا اصمّ است كه دراصطلاح حساب از كسر أصمّ به« جزء» تعبير مى‌شود و اصلاً از آن با هيچ عبارتى مگر« جزء» نمى‌توان تعبير كرد؛

مانند اينكه مى‌گويند: يك جزء از يازده كه آن را به اين صورت مى‌نويسند:.

و هر كدام از كسرمنطق و اصم يا مفردند مانند مثالهاى يادشده، و يا مكرر مى‌باشند؛ چنانكه مى‌گويند:

دو ثُلث دو رُبع دو خُمس سه سدس سه سُبع سه ثمن چهار تسع پنج عشر

و مانند اينكه گفته مى‌شود: دو جزء از يازده‌[/]، يا سه جزء از يازده‌[/].

تقسيم ديگر: كسر يامضاف است يا معطوف.

كسرمضاف: يعنى كسرى را صورت كسر ديگر قرار دهيم چنانكه مى‌گويند:

نصفِ سُدس ثلثِ رُبع دو ربعِ سُبع يك جزء از يازده از يك جزء از سيزده

كسر معطوف: يعنى كسرى را به كسر ديگر با واو عطف كنند؛ مانند:

نصف وثلث يك جزءاز يازده و يك جزء از سيزده

٢ و ٣ ١١ و ١٣

نتيجه:

٦) مطلب ششم: مخارج كسور و تحصيل آنها: مرحوم شيخ بهايى در مقام بيان مخارج كسور مى‌گويد:« مخرج الكسر أقلّ عدد يصح منه؛ فمخرج المفر د ظاهر. و هو بعينه مخرجُ المكرَّر. و مخرج المضاف مضروبُ مخارج مفرداته بعضِها في بعضٍ. و أمّا المعطوف فاعْتبر مخرجي كسرين منه؛ فإن تباينا فاضرب أحدهما في ال‌آخر، أو توافق فَوِفقَ أحدهمافي ال‌آخر، أو تداخلا فاكتف بالأكثر ثمّ اعْتَبِر الحاصل مع مخرج الكسر الثالث و اعمل ما عرفت و هكذا فالحاصل هو الجواب».

توضيح مطلب: مخرج عبار ت است از كوچكترين عددى كه مى‌توان كسر را صحيحاً از آن برداشت؛ مثلاً وقتى مى‌گويند( ٥) يعنى چيزى را پنج قسمت كرده و دو قسمت آن را بر داشته‌اند.

مخرج كسر مفرد عبارت است از عدد« ٢» در كسر نصف، و عدد« ٣» در كسر ثُلث، و عدد« ٤» در كسر رُبع، و عدد« ٥» در كسر خُمس، تا آخر.

ومخرج كسر مكرّر نيز همان مخرج كسر مفرد است و تنها تفاوتشان در صورت كسر است.

مخرج كسر مضاف عبارت است ا زحاصل ضرب مخارج مفردات؛ يعنى مضاف را كسرِ جدا حساب كرده و مضاف اليه را هم چنين فرض مى‌كنيم. آنگاه مخرج مضاف را در مضاف اليه، و صورت كسر مضاف را در صورت كسر مضاف اليه ضرب و حاصل اين ضرب، صورت و مخرج كسر مضاف را تشكيل مى‌دهد؛ مثلاً دركسر مضافِ، ١٨ حاصل مى‌شود.

امّا براى به دست آوردن مخرج كسر معطوف قاعده اين است كه دو كسر متعاطف را ملاحظه مى‌كنيم اگر مخرج آن دو متباين بودند دريكديگر ضرب كرده و رقمى كه به دست مى‌آيد مخرج مشترك ميان آن دو مى‌باشد مانند( ٣) و( ٤) كه مخرج مشترك آنهاعدد« ١٢» است.

و اگر بين آن دو نسبت توافق بود وفق يكى را در ديگرى ضرب مى‌كنيم مانند( ٤ و ٦) كه مخرج مشترك آنها عدد« ١٢» است.

و اگر بين آن دو نسبت تداخل بود به عدد بزرگتر اكتفا كرده وهمان را مخرج مشترك قرار مى‌دهيم؛ مانند« ٣ و ٩».

و اگر با اين دو كسر كه به هم عطف شده‌اند كسر سومى معطوف بود مخرج مشترك آن دو را با سومى مى‌سنجيم همانگونه كه آن دو را با هم سنجيديم، و رقمى كه به دست مى‌آيد مخرج مشترك ميان آن سه كسر است.