[١] اين مسئله كه عمليات رياضى معرف يا اثبات كنندهء چه واقعياتى است احتياج به تحقيق و بررسىهاى دقيقتر و مشروحترى دارد كه تاكنون به قدر لازم مورد توجه صاحبنظران قرار نگرفته است و ما در اين مقاله به طورى كه به نظر مى رسد آنرا وارد تحقيق مى نمائيم . چند موضوع را كه مى توان گفت به عنوان واقعيتهائى كه مسائل و عمليات رياضى معرف يا اثبات كننده آنهاست ، متذكر مى شويم : ١ - مسائل و عمليات رياضى از جملهء قضاياى انشائى تجريدى هستند كه واقعيتى جز تحقق خود ندارند . يعنى واقعيتى را كه فرمول ٤ ٢ ٢ معرفى مى نمايد ، يا آنرا اثبات مى كند ، معناى خود فرمول مزبور است همان گونه كه واقعيت دستور از مقام بالا به مقام پايين معناى خود همان دستور است كه مقام پايين را به تبعيت از آن الزام مى نمايد . با اين تفاوت كه انشاء دستورى ممكن است شخصى و خصوصى باشد ، ولى قضاياى رياضى همواره كليت دارند . از اينجا معلوم مى شود آن واقعيت كه عمل رياضى آنرا ارائه مى دهد . جهان عينى خارجى بالخصوص نيست ، اگر چه قابل تطبيق بر آن نيز مى باشد . زيرا پس از آنكه قدرت تجريد رياضى در ذهن انسان چه در واحدها و قضاياى عددى و علامات ، و چه در خطوط و اشكال هندسى تجريد شده از ماده به فعاليت رسيد ، اعمال رياضى بىنياز از جهان عينى خارجى ، مى گردد . عمليات رياضى در عين بىنيازى از جهان عينى خارجى ، بر دو رشتهء عمده تقسيم مى گردد : يك رشته از اين عمليات در عين حال كه تجريدى محض مى باشند ، راه گشاى واقعيتهاى عينى خارجى هستند ، مانند كارآيى رياضى در فيزيك و غيره . و در همين حال نيز اگر عمل رياضى به طور مستقل و با قطع نظر از كارآيى عينى منظور شود ، واقعيتهايى است كه مغز عمل كننده به وسيلهء عملى كه انجام مى دهد ، آنها را به دست مى آورد . رشتهء دوم از عمليات رياضى وجود دارد كه با نظر به محدوديت معلومات مربوط به جهان عينى كه تاكنون در هر دوره و جامعه اى وجود داشته است فقط در مغز رياضيدانان به وجود مى آيند و با نظر به معلومات محدود امكان تطبيق به جهان عينى ندارند و با اين حال واحدها و روابط موجود در جريان عمل و نتايجى كه از آنها بدست مى آيد واقعيتهائى تلقى مى شوند كه به هيچ وجه از ناحيهء معلومات و خواسته‌ها و احساسات و عواطف شخصى و شرايط اقليمى متأثر نمى شوند . اين گونه عمليات رياضى بر جهان عينى قابل تطبيق نيست ، بلكه از اين جهت منطق صورى و رياضيات محض و منطق رياضى ، مانند انواع قالبها و ظروفى هستند كه اگر چه غذائى وجود نداشته باشد كه در آنها ريخته شود ، ولى خود اين قالبها و ظروف واقعياتى هستند كه ما آنها را به همين عنوان مى پذيريم . و در انتظار واقعياتى جديد مى نشينيم كه آنها را به دست بياوريم و با آن قالبها تنظيم نمائيم به نظر مى رسد كه اين مطلب اگر چه بجاى خود صحيح است ، ولى براى ارائه واقعيتى كه عمليات مزبور رياضى و منطق رياضى نشان مى دهند ، قانع كننده نمى باشد ، زيرا تفاوت بسيار زياد ميان عنوان قالب و عمليات مزبور وجود دارد ، زيرا چنانكه در مباحث گذشته ديديم عمل رياضى محض در مغز رياضيدان واقعيتى بىنياز و كلىتر از واقعيتهاى عينى و ذهنى تلقى مى شود و چنين نيست كه اگر هيچ محتوا و حقيقت عينى براى عمل و نتيجه رياضى وجود نداشته باشد ، آن عمل و نتيجه را قالب تهى كه هرگز محتوائى در آن جايگير نخواهد بود ، تلقى نمايد و اگر رياضيدان در بارهء محصول رياضى خود به عنوان قابل محض بينديشد ، تحمل و مشقت عمل رياضى را كه همراه با مستهلك ساختن انرژى گران قيمت مغز است به خود راه نمى دهد . ٢ - آيا عمليات رياضى مورد بحث ، نوعى ورزش فكرى است كه به اضافهء تقويت فكر و آماده ساختن براى آن استدلال و استنتاج در بارهء واقعيات عامل لذت معقولى است كه مطلوب مغزهاى رشد يافته نيز مى باشد به نظر مى رسد اين احتمال هم توضيح دهندهء واقعيتى كه مغز در موقع عمليات رياضى احساس مى كند ، نمى باشد . اگر چه تقويت فكر و آماده ساختن آن براى استدلال و استنتاج و احساس لذت يكى از فوائد مطلوب آن عمليات مى باشد . ٣ - در فلسفهء گذشتگان واقعيتى و راى دو قطب ذهنى و عينى مطرح شده است كه اسم آنرا نفس الامر ناميده‌اند . علامه حلى ( حسن بن يوسف بن مطهر ) رحمة اللَّه عليه ملاك صدق اين گونه قضايا ( انسان ممكن الوجود است و با نظر به ملاك بحث اجتماع نقيضين و ارتفاع نقيضين محال است و عمليات رياضى و ديگر قضاياى انشائى تجريدى ) را تطابق با نفس الامر مى داند . در مبحث مربوط در شرح تجريد چنين مى گويد : در بعضى از زمانهائى كه از خواجه نصير طوسى استفاده مى كردم ، اين مسئله مطرح شد و از او پرسيدم معناى گفتار متفكران در بارهء احكام ذهنى كه ملاك صدق آنها تطابق با نفس الامر است چيست ( با در نظر گرفتن اين كه آن نفس الامر نه قلمرو ذهن است و نه جهان خارج از ذهن ) خواجه نصير طوسى پاسخ داد كه مقصود از نفس الامر عقل فعال است ، هر صورت و حكمى ثابت كه در ذهن به وجود مى آيد ، مطابق صور منقوشه در عقل فعال بوده باشد ، صدق است و در غير اين صورت صدق نبوده و مخالف واقع است . علامه حلى به اين پاسخ قانع نمى شود . بنظر مى رسد ما نفس الامر را مى توانيم به اين نحو تفسير كنيم كه نفس الامر عبارت است از آن موقعيت تجريدى نفس يا « من » كه در آن موقعيت تجريدى ، فوق در جهان ذهن و عين قرار مى گيرد ، و قضاياى كلى و بالضروره راست تجريدى را انشاء مى نمايد ، به طورى كه اگر آن قضايا بر دو جهان ذهنى و عينى تطبيق كنيم ، هم راست و هم فراگير همهء موارد و مصاديق ( كلى ) مى باشند .