دروس هيئت و ديگر رشته هاي رياضي - حسن زاده آملي، حسن - الصفحة ٦١٥ - برهان خط نصف النهار دائره هنديه
سطح دائره ارتفاع و سطح افق با سطح موازى او . و اين به جهت آنست كه مركز مقياس به منزله مركز سطح افق حسى است , پس خطى كه واصل شود از سمت الرأس كه قطب افق است به مركز مقياس عمود بر سطح افق است به شكل نهم از اولى اكرثاوذوسيوس ( كل خط يصل بين قطب دائرة تقع في كرة , و بين مركز تلك الدائرة فهو عمود على الدائرة . . . ) . و سهم مقياس نيز عمود است بر آن سطح , پس منطبق بود بر آن عمودى كه به سمت الرأس مى گذرد . و چون دائره ارتفاع قائم بر سطح افق است و به سمت رأس مى گذرد به ضرورت به عمود مذكور بلكه به سهم مقياس مى گذرد , و مركز آفتاب در سطح دائره ارتفاع است , پس خطى كه از مركز آفتاب خارج شود و به رأس مقياس و رأس ظل گذرد در سطح دائره ارتفاع بود , پس در مثلثى كه از سهم مقياس و خط ظل و قطر ظل حاصل است دو ضلع كه سهم مقياس و قطر ظل است در سطح دائره ارتفاع بود , پس به شكل دوم از مقاله يازدهم اصول ( كل خطين يتقاطعان فهما فى سطح , و كل مثلث فهو في سطح ) ضلع سوم كه خط ظل است نيز در آن سطح بود . و اين خط ظل در سطح افق با سطح موازى آن نيز هست , پس بر فصل مشترك مذكور بود و هو المطلوب .
مقدمه دوم :
آن كه چون دو ظل يك مقياس كه يكى شرقى بود و ديگرى غربى متساوى باشند ارتفاع آن دو ظل نيز مساوى بود , زيرا كه در دو مثلث كه از سهم مقياس و دو خط ظل متساوى و دو قطر ظل حاصل شده , زاويه تقاطع سهم و خط ظل قائمه است , پس به شكل چهارم اولى اصول ( إذا ساوى ضلعان و زاوية بينهما من مثلث , ضلعين و زاوية بينهما من مثلث آخر كل لنظيره , تساوى الضلعان و الزوايا الباقية و المثلثان كل لنظيره . . . ) دو زاويه كه خط ظل و قطر ظل به آن محيط است در آن دو مثلث نيز متساوى باشند , و اين زاويه بقدر قوس ارتفاع است , چه اگر قطر ظل اخراج كنند به مركز آفتاب گذرد پس به محيط دائره ارتفاع رسد , و چون خط ظل اخراج كنند به تقاطع محيط افق و محيط دائره ارتفاع رسد , پس زاويه مذكور مقدار قوس ارتفاع بود , و