شرح برهان شفا - مصباح یزدی، محمد تقی - الصفحة ٢٢٧ - ـ قياس بروسُن

دايره مماس مى‌شود. با دقت در تصوير فوق، روشن است كه مساحتِ هشت ضلعىِ مماس خارجى بزرگتر از دايره، و مساحتِ هشت ضلعىِ مماس داخلى كوچكتر از دايره است. هشت ضلعىِ مماس خارجى، كوچكترين هشت ضلعىِ خارجى است و هشت ضلعىِ مماس داخلى، بزرگترين هشت ضلعىِ داخلى است. چون هشت ضلعىِ داخلى فقط در زواياى خود با دايره مماس است، لذا دايره در قسمتِ قوس‌هاى بين دو زاويه، از هشت ضلعى بزرگتر است. و امّا هشت ضلعىِ خارجى در وسطِ هر ضلعش با دايره مماس است و لذا در قسمت زوايايش از دايره بزرگتر است. حال بين اين‌دو هشت ضلعىِ خارجى و داخلى، يك هشت ضلعىِ ديگر مى‌توانيم فرض كنيم كه مساحتش مساوىِ مساحت دايره باشد كه طبيعتاً اين هشت ضلعى، از خارجى كوچكتر و از داخلى، بزرگتر است. اين هشت ضلعىِ مساوى با دايره را مى‌توان به مربع تبديل كرد، زيرا اگر از هر زاويه هشت ضلعى، خطى به مركز آن يعنى همان مركزِ دايره رسم كنيم هشت تا مثلث به دست مى‌آيد و مى‌دانيم هر مثلثى را مى‌توان با مربّعى مساوى دانست. زيرا مساحت مثلث از ضربِ قاعده در نصفِ ارتفاع به دست مى‌آيد: مثلاً اگر قاعده مثلث، چهار باشد و ارتفاع آن هشت باشد، مساحت مثلث، معادلِ حاصلضربِ چهار در نصفِ هشت يعنى چهار خواهد بود و مساوىِ شانزده مى‌شود. حال اگر جذر شانزده را بگيريم، عدد چهار به دست مى‌آيد و چون مساحتِ مربع از ضربِ يك ضلع در خودش به دست مى‌آيد، اگر مربعى را با ضلعِ چهار فرض كنيم، مساحتش شانزده مى‌شود كه برابر است با مساحتِ مثلثِ مزبور.

پس مى‌توانيم يك هشت ضلعى را به هشت مثلث تبديل كنيم و سپس هشت ضلعى را به هشت مربع و نهايتاً هشت مربع كوچك را به يك مربع بزرگ تبديل كنيم. مثلاً اگر هشت مربع داشته باشيم كه ضلعِ هر يك، دو باشد، مى‌توانيم مساحتِ هر يك از مربع‌هاى كوچك يعنى عدد چهار را در هشت ضرب كنيم و حاصلضرب آن يعنى عدد (٣٢) را به عنوان مساحتِ يك مربع بزرگ در نظر بگيريم. و مساحتِ اين مربع بزرگ برابر است با مساحتِ آن دايره‌اى