و متشارك و متعاكس بودن برهان ياد شده با اين اصل در اعتراض مذكور بدين بيان است كه در برهان مذكور دو خط متقاطع از نقطه تقاطع تا بى‌نهايت امتداد بيابند و بعد غير متناهى در ميان دو ضلع قرار نگيرد. چون هر مقدارى يعنى كم متصل قابل انقسام غير متناهى است لذا ممكن است مقدارى متناهى به اقسام غير متناهى تقسيم گردد و به فراخور اين اقسام آن دو ضلع جسته جسته تا بى‌نهايت انفراج يابد و بعد غير متناهى محصور بين حاصرين (دو ضلع مذكور) نگردد يعنى اصلا بعد غير متناهى تحقق نمى‌يابد هر چند اجزا و ابعاد غير متناهى يك مقدار متناهى در بين آن دو قرار گرفته است و به تزايد آن اجزا، ابعاد نيز متزايد بلكه غير متناهى است فتبصر. به عكس اين فرض آن دو خط مفروض اصل اقليدس در جهت ب د جسته جسته با يكديگر نزديك بشوند و به همين نحو نيز تا بى‌نهايت امتداد بيابند و با هم تلاقى نكنند.

دانشمندانى قبل از اسلام و بعد از اسلام در پيرامون اين اصل اقليدس رساله‌ها نوشته‌اند. از آن جمله ابن هيثم و خيامى (خيام) و خواجه طوسى و تلاقى دو خط مفروض را در جهت مذكور اثبات كرده‌اند. علاوه اين كه خواجه در ضمن مسائل كتاب در شكل بيست و هشتم مقاله نخستين تلاقى آن دو را پس از تمهيد هفت قضيه هندسى اثبات كرده است.

رساله‌اى كه خواجه در برهان اصل مذكور نوشت به نام شافيه است. در آن رساله به ابن هيثم و خيام اعتراضاتى دارد و رساله آنان را در اثبات اصل اقليدس شافى نمى‌داند چنان كه خود گويد:

«و لم أظفر في ما وقع إلى بيان شاف، و لم أعثر فيما رأيت من كلامهم على برهان كاف» لذا رساله‌اش را شافيه ناميده است.

تبصره: خواجه طوسى در شرح اشارات، تقرير و شرح برهان سلمى را از شرح فخر رازى نقل كرده است و در آخر سبب آن را چنين گفته است: و إنما اقتفينا كلام الفاضل الشارح لأنه بذل المجهود فيه از اين گفتار و كار خواجه استشمام عدم ارتضاى او به برهان سلمى و تناهى ابعاد مى‌شود از اين جهت كه كسى چيزى را دوست ندارد و مرضى او نيست، نمى‌خواهد حرفش را بزند، اگر ناچار بايد حرفش به ميان آيد، ديگرى بگويد فتأمل.

ب- برهان ترسى: اما برهان ترسى، چنان كه گفته‌ايم از برهان سلمى استنباط شده است كه در حقيقت ترسى همان سلمى است و مآل هر دو يكى است جز اين كه در نحوه اقامه دليل، فى الجمله از يكديگر متمايزند. سلم نردبانست و ترس سپر، وجه تسميه آن به سلمى روشن شده است. و دومى را از اين روى ترسى گفته‌اند كه چون به ظاهر هيئت آسمان مانند سپرى مدور و محدب مى‌نمايد، چنان كه به اين لحاظ كه مانند آس است آسمان ناميده‌اند، برهان را چنين تقرير كرده‌اند.

جسم مستديرى مانند ترس به شش قسم متساوى تقسيم گردد و چون سه خط مستقيم كه در