برهان سلمى و برهان تطبيق مبتنى بر قواعد و قضايا هندسى نيستند بخلاف براهين ديگر ياد شده لذا برهان سلمى را شيخ در فصل يازدهم نمط اول اشارات در اثبات تناهى ابعاد آورده است و در آن حسن صنيعت به كار برده است كه به طور طبيعى بدون اعمال هيچ گونه اصطلاحات علمى از هندسى و جز آن، در كمال احكام و اتقان تقرير فرموده است. و در حقيقت نقصى را كه در زبر يونانيان در بيان برهان سلمى وجود داشته است تكميل كرده است.

الف- برهان سلمى: در كتب يونانيان برهان تناهى ابعاد بدين صورت است كه فرض شود از يك نقطه دو ضلع مثلث تا بى‌نهايت امتداد بايد مدعا بر آن اثبات گردد كه در صورت امتداد بى‌نهايت دو ضلع مثلث، لازم آيد بعد غير متناهى محصور گردد بين حاصرين كه دو ضلع مثلثند.

بر اين فرضيه ايراد شده است كه هر كم متصل قابل انقسام غير متناهى بالقوه است پس هر گاه مقدار معينى مثلا يك متر، به اجزاى غير متناهى آن تجزيه و تقسيم گردد، و انفراج دو ضلع مثلث مفروض يعنى بعد بين آن دو به اجزاى غير متناهى يك متر مفروض ازدياد يابد، در اين صورت بعد غير متناهى محصور بين حاصرين نگرديده است هر چند امتداد دو ضلع مثلث غير متناهى است و بعدى هم كه در ميان آن دو قرار گرفته است به اجزاى غير متناهى است و حال اين كه مجموع آن به يك متر نمى‌رسد زيرا كه يك متر قابل انقسام غير متناهى است و تقسيم و اقسام غير متناهى آن به فعليت نمى‌رسيدند، و به فرض همه اقسام آن بين ضلعين قرار گيرند مجموع آنها يك متر است كه آن تزايد ابعاد بين ضلعين على سبيل تناقص ابعاد منقسمه يك متر مفروض است و خلاصه تزايد على سبيل تناقص است.

اين برهان ناتمام در كتب علماى اسلام با شرايطى خاص تمام و به نام برهان سلمى ناميده شده است و در فصل هشتم از مقاله سوم طبيعيات شفاء (ج ١ ص ١٠١ ط ١) و در شرح فخر رازى و خواجه طوسى بر اشارات شيخ به اتم وجه بيان شده است. و در تقرير آنان تزايد ابعاد على سبيل تزايد است كه مقدار واحدى را مثلا يك ذراع و يك متر رايى كه ثابت قرار مى‌دهيم و متعاقبا بين آن دو ضلع هر يك از زيادات بعدى زيادات قبلى را حافل است و همچنين زيادات إلى غير نهايه به مقدار آن واحد ثابت بين ضلعين افزوده شود تا بعد متزايد بين دو ضلع مشتمل بر زيادات غير متناهى شود تا امتناع لازم آيد أعني بعد غير متناهى محصور بين حاصرين.

در اين برهان كأن دو ضلع مذكور دو بازوى نردبان و هر يك از زيادات متعاقب به مقدار واحد ثابت پله‌هاى آنند كه بدين جهت سلمى ناميده شده است، بدين صورت: