متناهى هر يك از- ح د- و- ح ه- كه امتداد همان دو خط- ا ه- و- ب د- است چه لزومى دارد كه بعد بين آن دو غير متناهى باشد و دو زاويه- ح- متقابل برأس هر يك حاده و مقدار متصل است و قابل انقسام غير متناهى بالقوه است و در عين حال از اصل مقدار خود تجاوز نكند يعنى هر چند درجه باشد در همان حد قابل انقسام غير متناهى بالقوه است. و زاويه- ب- در صورت تساوى دو ساق مثلث مساوى با- ح- است به شكل مأمونى كه پنجم اولى اصول است. و در صورت عدم تساوى باز حكم زاويه ب و زاويه ح در امر مذكور يكى است. پس اين برهان همان لام الفى است كه لا است يعنى نه، كه برهان نيست. هر چند براهين ديگر اثبات تناهى ابعاد هم يك يك آنها در نظر راقم لام الفى است. جز اينكه در اين برهان خاصه، اسم و حكم واقعى آن از زبان مبارك جناب شيخ جارى شده است.

ه- اما برهان مسامته كه آن را برهان موازات نيز گويند بيانش اين است كه خواجه طوسى در آخر فصل يازدهم نمط اول شرح اشارات شيخ تقرير فرموده است كه شيخ در متن راجع به استحاله غير متناهى بودن ابعاد گفت: و قد تستبان استحالة ذلك أيضا من وجوه أخرى يستعان فيها بالحركة أو لا يستعان. كلمه أيضا ناظر به برهان سلمى است كه آن را بيان كرده است و خواجه در شرح گويد:

الوجه الذي يستعان بالحركة هو المبني على فرض كرة يخرج من مركزها قطر مواز لخط غير متناه يجب أن يسامته بعد الموازاة لحركة الكرة فيلزم أن يوجد في الخط أول نقطة يسامتها القطر و يستحيل أن يوجد لوجود نقطة يسامتها قبل كل نقطة فيلزم الخلف.

و- اما برهان تخليص، عكس برهان مسامته است شيخ اشراق در تلويحات و ابن كمونه آن را در شرح تلويحات آورده‌اند و شيخ بهائى آن را در اوائل مجلد سوم كشكول (ص ٢٥٢، نجم الدوله) به تلخيص نقل كرده است.

برهان التخليص أورده ابن كمونه في شرح التلويحات: نفرض خطين غير متناهيين متقاطعين قد خرج أحدهما من مركز كرة، فإذا فرض تحرك الكرة بحيث يخرج القطر من المقاطعة إلى الموازاة فلا بد أن يتخلص عن الخط الآخر و هو أنما يكون عند نقطة ينتهي بها الخط مع كونه غير متناه.

انتهى.

ز- اما برهان تطبيق، بعضى در تقرير آن يك خط غير متناهى را تقطيع كرده است چنان كه خواجه در شرح اشارات. و بعضى در بيان آن دو خط غير متناهى فرض كرده است چنان كه علامه حلى در شرح تجريد خواجه. و بعضى همان يك خط را قبل از تقطيع و بعد از تقطيع، دو خط فرض كرده است چنان كه شيخ اشراق در تلويحات و ابن كمونه در شرح آن.

خواجه طوسى در بيان همان عبارت مذكور شيخ در اشارات كه گفت يستعان فيها بالحركة أو لا