ابوالوفاء متنبه شد كه پيغمبر صلى الله عليه و آله به حساب وسط و معدل , زمان ما بين ظهر و غروب آفتاب را به دو نصف بخش كرده است : يك نيمه آن از ظهر است تا وقتى كه سايه به اندازه شاخص شود , و نيمه ديگر از آن وقت كه سايه به اندازه شاخص شود تا غروب , و آن را به نماز عصر تخصيص داد . و نيز دريافت كه هرگاه سايه شاخص به اندازه شاخص شود فاصله از ظهر تا غروب , نصف شده است . عين دستور پيغمبر صلى الله عليه و آله را در ارتباط ميان ظل و زاويه به كار برد .

قامت شاخص , كه بلندى ديوار مسجد رسول صلى الله عليه و آله است , در حقيقت , شعاع دايره مثلثاتى است كه خطوط مثلثاتى را به قياس به آن مى سنجند , و امروز آن را يك واحد فرض مى كنند , و در كتب اسلامى شعاع را شصت درجه مى گرفتند .

هرگاه سايه مساوى قامت شود , يعنى طول ظل به اندازه شعاع دايره گردد دليل آن است كه زاويه و قوس مقابل آن چهل و پنج درجه ( ٤٥ ) شده است , و چهل و پنج درجه نصف قوس نود درجه ( ٩٠ ) است كه از افق مغرب , يعنى جاى غروب آفتاب , تا وسط آسمان تصور مى شود .

بعضى تعجب مى كنند از اين كه خط مماس مثلثاتى را مسلمانان ظل ناميدند , چون سر آن را نمى دانند , و از آنچه گفتيم علت آن آشكار گشت كه اصلا ظل بود كه علماى رياضى را متنبه به فايده اين خط كرد و همان نام اصلى را بر آن نهادند و به كار بردند , و اروپائيان از آن به مماس تعبير مى كنند , چون ظل براى آنها مفهوم مناسبى ندارد و ريشه پيدايش آن را نمى دانند .

بارى از مسجد پيغمبر اكرم صلى الله عليه و آله و سلم و سايه ديوار آن , يعنى تانژانت كه مساوى شعاع كرده گردد , خواص ظل استنباط كردند و جداولى براى ظل و جيب مرتب ساختند تا مقدار زوايا را در مقابل هر جيب و ظل بدانند .

جداول مثلثاتى كه اسلاميان به كار مى بردند از قوس و زاويه صفر درجه تا نود درجه , دقيقه به دقيقه با مقدار حقيقى جيب و ظل ترتيب يافته بوده اند و هنوز آن