دائرة المعارف بزرگ اسلامی - مرکز دائرة المعارف بزرگ اسلامی - الصفحة ٣٥٦ - حساب

حساب

نویسنده (ها) : حسین معصومی همدانی

آخرین بروز رسانی : چهارشنبه ١٦ بهمن ١٣٩٨ تاریخچه مقاله

حِساب، یکی از علوم اصلی ریاضی در دوران باستان و دوران اسلامی.

 

۱. تعریف و موضوع حساب

علم حساب که به‌تسامح علم عدد یا ارثماطیقی نیز خوانده می‌شود (در مورد تفاوت این ۳ مفهوم، نک‌ : دنبالۀ مقاله)، یکی از علوم ریاضی است که گاه، در کنار هندسه، یکی از دو علم اصلی ریاضی (ابن‌سینا، الشفاء، طبیعیات، ۱ / ۴۱)، و گاه در کنار هندسه و نجوم و موسیقی یکی از ۴ علم اصلی ریاضی (نک‌ : کندی، ۳۷۷- ۳۷۸، که علم موسیقی را «علم تألیف» می‌خواند؛ نیز رسائل ... ، ۱ / ۴۹) شمرده‌می‌شد. در منابعی که علوم ریاضی را به اصلی و فرعی تقسیم‌نمی‌کنند، حساب یکی از ۷ علم ریاضی (فارابی، ۷۵) محسوب شده است (۶ علم دیگر عبارت‌اند از: هندسه، علم مناظر، علم نجوم ریاضی، موسیقی، علم اثقال و علم الحیل).

در منابع دوران اسلامی، علم حساب به دو صورت تعریف شده‌است: یکی تعریفی که در آثار فلسفی و طبقه‌بندیهای علوم دیده می‌شود و مآلاً مبتنی بر طبقه‌بندی ارسطویی علوم، بر حسب ارتباط موضوع آنها با ماده، و تقسیم کمیات به متصل و منفصل است. در این دسته از تعریفها، حساب بر حسب موضوع آن که کمّ منفصل یا عدد است، تعریف می‌شود. دیگری تعریفی که بیشتر در خودِ کتابهای حساب و کتابهای جبر و مقابله می‌آید و تعریفی «عملیاتی» است. همچنین می‌توان گفت که این تعریفها ناظر به انواع مختلفی از حساب است که در گذشته وجود داشته‌است. همچنین تفاوت میان این تعریفها، تا اندازه‌ای تحولات این رشته از ریاضیات را در دوران اسلامی منعکس می‌کند.

ابن‌سینا موضوع علم حساب را شناسایی انواع عدد و خواص هر یک از آنها، و شناخت نسبت اعداد با یکدیگر و نیز چگونگی به دست آمدن اعداد از یکدیگر دانسته است (نک‌ : «اقسام‌الحکمة»، ۱۱۱)، همین تعریف با تفاوتهایی در اثر دیگری از ابن‌سینا در طبقه‌بندی علوم آمده است (همو، اقسام علوم ... ، ۲۲۷). این تعریف به آثار دیگر در طبقه‌بندی علوم نیز راه یافته‌است. از جمله ابن‌اکفانی آن را با حذف عبارت «شناخت نسبت اعداد با یکدیگر» نقل کرده (ص ٥٩, ٦٠)، و حتى در آثار غیر علمی و غیرفلسفی هم نقل شده‌است، تاآنجاکه نظامی عروضی در تعریف حساب، تعریف ابن‌سینا را عیناً به فارسی ترجمه کرده‌است (ص ۵۴). صورت ساده‌شده‌ای از این تعریف در برخی از آثار حسابی هم دیده می‌شود؛ چنان‌که علی بن یوسف محاسب در تعریف حساب به همین اکتفا کرده است که «موضوع حساب اعداد است» (ص ۵).

برخلاف ابن‌سینا که تعریفی کلی از حساب به دست داده‌است، فارابی علم حساب یا علم عدد را به صورت کلی تعریف‌نکرده، بلکه از همان آغاز، به تبع یونانیان که این علم را به دو شاخۀ «فن حساب[۱]» و «حساب عملی[۲]» تقسیم می‌کردند، آن را به دو شاخۀ عملی و نظری بخش کرده است (ص ۷۵). حساب عملی آن است که در آن عدد همواره همراه با معدود خاصی است و همان است که مردم در بازارها و زندگی مدنی به کار می‌گیرند؛ اما حساب نظری عدد را مجرد از اجسام و هر معدود دیگری در نظر می‌گیرد و آن را برکنار از هر چه با آن شمارش شود، بررسی می‌کند. فارابی تنها این بخش را جزو علوم می‌شمارد. موضوعاتی که فارابی برای این علم ذکر می‌کند، هم شامل بخشهایی از نظریۀ اعداد اقلیدسی و نوفیثاغورسی است ــ مانند مفاهیم فرد و زوج، روابطی چون تساوی و عدم تساوی و نیز روابطی که میان دو عدد برقرار است، مانند اینکه یکی از آن دو مضربی از دیگری باشد، یا دو عدد متباین یا متناسب باشند و نیـز مفاهیمی چـون اعداد تـام و غیـر تام ــ و هم شامل آنچه در همان زمان و بعدها با عنوانهای حساب هندی و حساب هوایی شناخته می‌شد، مانند روشهای جمع و تفریق و ضرب و تقسیم. همچنین علم حساب نظری در این بحث می‌کند که چگونه از اعداد معلومی اعداد دیگری به دست می‌آیند (ص ۷۵-۷۶). به نظر می‌آید کسانی که علم حساب را به «علم به دست آوردن مجهولات از معلومات» تعریف کرده‌اند، به بخش اخیر از تعریف فارابی نظر داشته‌اند. بنابر این تعریف، فارابی از علم عدد در واقع برخی از جریانهایی را که در ریاضیات روزگار او رایج بوده‌است، منعکس می‌کند. اما وی علم جبر را زیرشاخه‌ای از حساب نمی‌داند و آن را جزو یکی از «علوم الحیل» می‌آورد که آن را حیل عددیه می‌نامد (ص ۸۹).

تعریف فخرالدین رازی در جامع العلوم (ص ۳۹۵) نیز به تعریف ابن‌سینا در «اقسام الحکمه» نزدیک است. به گفتۀ وی «در این علم بیان خاصیت انواع عدد کنند». آملی نیز در نفائس الفنون همین تعریف را پذیرفته است (۳ / ۴۵). کندی هم در تعریف حساب به این اکتفا کرده که حساب را «علم کمیت» دانسته، و علوم ریاضی را به دو شاخۀ «علم کمیت» و «علم کیفیت» تقسیم نموده است. از این دو شاخه علم کمیت، که متناظر با حساب است، به دو علم تقسیم می‌شود: یکی «صناعة العدد» که کندی موضوع آن را چهار عمل اصلی بر روی اعداد (یعنی اعداد صحیح) می‌داند، و دیگری «علم التألیف» که موضوع آن بررسی

نسبتهایی است که میان اعداد پدید می‌آید (ص ۳۷۷). تعریف کندی از حساب نه‌تنها به بخشهای نظری‌تر حساب کاری ندارد، بلکه حتى همۀ چیزهایی را هم که در زمان او موضوع حساب هندی و حساب هوایی شمرده می‌شد، در بر نمی‌گیرد. تعریف کندی از علم التألیف همان تعریف نیکُماخُس از علم موسیقی است، که علم کمیت را به دو بخش تقسیم می‌کند: یکی علم کمیت وقتی به‌تنهایی در نظر گرفته شود، و در آن از چیزهایی مانند مربع و زوج و فرد و تام و مانند آن بحث می‌شود، و دیگری «علم موسیقی» که در آن از کمیت وقتی به چیز دیگری اضافه شود، بحث می‌شود و موضوع آن مفاهیمی چون دو برابر و بزرگ و کوچک و نصف و مثل و ثلث و مانند آن است (ص ۱۳-۱۴). بنابراین، کندی علم نیز حساب را یکی از علوم چهارگانۀ ریاضی می‌شمارد.

برخلاف این‌گونه آثار که حساب را بر حسب موضوع آن تعریف می‌کنند، در بیشتر آثار حسابی و کتابهای جبر و مقابلۀ دوران اسلامی، حساب بر حسب غایت و غرض و کارکرد آن تعریف شده است؛ از جمله کرجی حساب را به استخراج مجهولات از معلومات در همۀ انواع آن تعریف می‌کند («الفخری ... »، ۹۷، قس: البدیع ... ، ۷).

این تعریف که در آغاز در آثاری دیده می‌شود که موضوع آنها نوع خاصی از حساب، یعنی حساب جبر و مقابله است، بعدها به آثاری هم که به حساب به معنای معمولی آن می‌پردازند، راه یافته است. از جمله کوشیار گیلی آن را تعریف «غرض» حساب می‌داند: «غرض از حساب به دست آوردن مجهولات از معلومات است» (ص ۶۹). در آثار حسابی‌ای که بـه دو بخش ــ محاسبه بـا معلومات و استخراج مجهولات ــ تقسیم شده‌اند (نک‌ : دنبالۀ مقاله)، این تعریف متناظر است با بخش دوم که شامل مطالبی چون یافتن جزء چهارم تناسب، حساب خطأین و حساب جبر و مقابله است. از جمله ابن بنّا در آغاز کتاب خود حساب را بـه این دو بخش تقسیـم می‌کند (نک‌ : تلخیص ... ، ۳۵، رفع الحجاب ... ، ۲۰۱؛ قلصادی، ۲۹). برخی مؤلفان دیگر، شاید به این دلیل که این تعریف را بیش از اندازه کلی می‌دیده‌اند، علم حساب را به استخراج مجهولات «عددی» از معلومات تعریف کرده‌اند (غیاث‌الدین، ۴۷؛ شیخ بهایی، ۱).

در تعـریف ابن هائم (ه‌ م) از حساب، ایـن دو دیدگاه ــ یعنی تعریف حساب بر حسب موضوع، و تعریف حساب بر حسب غایت آن ــ با هم ترکیب شده است: «حساب علمی است که با آن به استخراج مجهولات عددی راه می‌برند و موضوع آن عدد است از لحـاظ تحلیـل و تـرکیب، و آن کـمّ منفصل است» (نک‌ : المعونة، گ ۲ ر). واژه‌های «تحلیل» و «ترکیب» که در این تعریف آمده، در واقع به معنای جمع و تفریق است و در این تعریف ضرب و تقسیم از فروع جمع و تفریق شمرده می‌شوند. برخی دیگر از مؤلفان حساب را، گذشته از تعریف بر حسب غایت آن، بر حسب موضوع آن بر پایۀ این دو مفهوم تعریف کرده‌اند: «حساب پرداختن به اعداد است به دو روش جمع و تفریق» (ابن بنا، همان، ۲۰۲).

 

۲. حساب، علم عدد، ارثماطیقی

تفاوتهایی که میان تعاریف حساب دیده می‌شود، گذشته از تفاوت میان تعریف حساب به موضوع و غایت آن، به تفاوت مفهومی که صاحبان این تعاریف از حساب در نظر داشته‌اند نیز مربوط می‌شود. این تفاوت در واژه‌هایی که آنان به کار می‌برند نیز بازتاب یافته‌است. واژه‌های علم عدد و ارثماطیقی تقریباً بر چیزی اطلاق می‌شود که امروزه نظریۀ اعداد نام دارد و موضوع آن بررسی خواص اعداد طبیعی است. این مفهوم تا اندازۀ زیادی متناظر است با مطالبی که در مقالات حسابی اصول اقلیدس و نظایر اسلامی آن ــ مانند بخش حساب شفـای ابن‌سینا ــ آمـده است. علـم عدد یا ارثماطیقی با جنبه‌های عملی حساب کاری ندارد. با این حال، گاهی نیز واژ‌ۀ «علم عدد» یا صناعت عدد بر حساب عملی نیز اطلاق شده است (همانجا). همچنین، چنان‌که خواهیم گفت، در آثار حسابی دوران اسلامی، مطالبی از نظریۀ اعداد در کنار روشهای عملی محاسبه آمده است.

از سوی دیگر، دامنۀ معنای واژ‌ۀ حساب در متون اسلامی تحت تأثیر پیدایش علم جبر و تحولات ناشی از آن، از آنچه در حساب عملی یونانی بود، فراتر رفته، و گذشته از روشهای انجام دادن عملیات حسابی بر روی اعداد معلوم، علم جبر را هم که موضوع آن عملیات بر روی مقادیر مجهول و به دست آوردن مقادیر مجهول از روی مقادیر معلوم از راه حل معادلات است، شامل شده است؛ و این تحول در تعریف حساب به «علمِ به‌دست آوردن مقادیر مجهول از مقادیر معلوم» بازتاب یافته‌است. این تعریفِ حساب تعریفی کلی‌تر است و در بیشتر موارد بخشهایی از جبر و مقابله را هم در بر می‌گیرد.

 

۳. منابع حساب دوران اسلامی

برخلاف هندسه که منبع عمدۀ مسلمانان در آن، آثار یونانیان به‌ویژه نوشته‌های اقلیدس و ارشمیدس و آپولونیوس بود، حساب دوران اسلامی به این دلیل که هم جنبۀ نظری داشت و هم جنبۀ کاربردی ــ و این دو جنبه در تعریفهای آن دیده می‌شود ــ ریشه در منابع مختلف و متفاوتی داشت. برخی از این منابع از این قرارند:

 

الف ـ حساب اقلیدسی

مقالات هفتم و هشتم و نهم کتاب اصول اقلیدس به موضوعی اختصاص دارند که امروزه نظریۀ اعداد خوانده می‌شود. مقالۀ هفتم اصول شامل تعریف عدد به صورت کثرتی از واحدها (قس: ابن‌بنا، رفع الحجاب، ۲۰۷، که این تعریف را «رسم» می‌داند)، تقسیم اعداد به زوج و فرد، یعنی اعدادی به صورتهای n۲ و ۱+ n۲، تعریف مقسومٌ‌علیه یک عدد (به صورت «جزئی» از آن عدد) و تعریف مضرب یک عدد است. سپس اعداد به زوج الزوج (اعدادی به صورت n۲) و زوج الفرد (اعدادی به صورت (۱+ n۲)۲) و فرد الفــرد (اعدادی به صورت (۱+ n۲) (۱+ m۲)) تقسیم می‌شوند. برخی دیگر از تعاریف این کتاب که در بسیاری از کتابهای حساب دوران اسلامی هم دیده می‌شود، اینها ست: تعریف عدد اول، تعریف دو عدد که نسبت به هم اول باشند، تعریف ضرب بر حسب جمع، تعریف اعداد مسطح (اعدادی به صورت n× m)، اعداد مجسم (اعدادی به صورتp × n × m)، اعداد مربع (اعدادی به صورت ۲n)، اعداد مکعب (اعدادی به صورت ۳n)، تعریف تناسب میان ۴ عدد، و تعریف عدد تام (عددی که برابر با مجموع مقسوم علیه‌های خود باشد) (اقلیدس، II / ٢٧٧-٢٧٨).

قضایای این مقاله مهم‌ترین خواص اعداد را بیان می‌کنند: روش تعیین اینکه دو عدد نسبت به یکدیگر اول‌اند یا نه (همو، II / ٢٩٦)؛ روش یافتن کوچک‌ترین مضرب مشترک میان ۲ عدد (همو، II / ٢٩٨) و میان ۳ عدد (همو، II / ٣٠٠)؛ بررسی ویژگیهای کسرهایی به صورت و خواص تناسب میان این‌گونه کسرها؛ و بررسی خواص کسرهایی به صورت و خواص تناسب میان این‌گونه کسرها (همو، II / ٣١٨، قضیۀ ۱۹)، یعنی خواصی چون:

 

 

 

همچنین اقلیدس ثابت می‌کند که اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند، هر مقسومٌ‌علیه یکی از آنها نسبت به دیگری اول خواهد بود (II / ۳۲۴، قضیۀ ۷ / ۲۳)؛ اگر دو عدد نسبت به عدد سومی اول باشند، حاصل ضرب آنها نیز نسبت به آن اول خواهد بود (II / ٣٢٥، قضیۀ ۷ / ۲۴)؛ اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند، مربع یکی از آنها نیز نسبت به دیگری اول خواهد بود؛ اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند، هر توانی از یکی از آنها نسبت به همان توان از دیگری اول خواهد بود ؛ اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند، مجموع آنها نیز نسبت به هر یک از آنها اول خواهد بود و به عکس (II / ٣٢٩، قضیۀ ۷ / ۲۸)؛ اگر عدد اولی حاصل ضرب دو عدد را بشمارد، یکی از آن دو عدد را هم می‌شمارد (II / ۳۳۱، قضیۀ ۷ / ۳۰)؛ هر عددی یا اول است یا عدد اولی آن را می‌شمارد (II / ٣٣٣، قضیۀ ۷ / ۳۲). در همین مقاله، اقلیدس راه یافتن کوچک‌ترین مضرب مشترک دو عدد را به دست می‌دهد (II / ٣٣٦، قضیۀ ۷ / ۳۴).

موضوع بیشتر قضایای مقالۀ هشتم اصول، بررسی روابط میان کمیتهایی است که تشکیل تصاعد هندسی می‌دهند. در این مقاله اقلیدس جملۀ عمومی این تصاعد و نیز مجموع جمله‌های آن را به دست می‌آورد. در قضیۀ ۳۶ از مقالۀ نهم، اقلیدس فرمولی برای به دست آوردن اعداد تام ذکر، و آن را اثبات می‌کند. این فرمول چنین است: اگر اول باشد، عدد تام از رابطۀ به دست می‌آید (II / ۴۲۱-۴۲۴). هرچند اقلیدس در تعریف عدد تام، به فرد یا زوج بودن آن اشاره‌نمی‌کند، همۀ اعداد تامی که از این رابطه به دست می‌آیند، زوج‌اند. در قرن ۱۸ م اویلر ثابت کرد که همۀ اعداد تام زوج از این رابطه به دست می‌آیند، اما هنوز معلوم نشده است که آیا عدد تام فردی وجود دارد یا نه.

 

ب ـ حساب نوفیثاغورسی

دومین منبع مهم آشنایی مسلمانان با علم حساب یونانی، کتاب «مدخل حساب[۳]» ( المدخل الى علم العدد) نیلکماخس اهل گراسا [۴](در عربی: نیقوماخس الجهراسینی، نک‌ : بوزجانی، ۱۲۴؛ یعقوبی، ۱/۱۴۰) است. دوران شکوفایی نیکماخس، که در برخی از منابع دوران اسلامی به‌خطا بـا نیکماخس، پـدر ارسطو یکی شمـرده شده (همـانجا؛ نیـز نک‌ : ابن‌اکفانی، ٦٠)، در حدود سال ۱۰۰ م بوده است. وی این کتاب را به شیوۀ نوفیثاغوری نوشته است، اما مطالب آن به نخستین فیثاغورسیان بازمی‌گردد (هیث، I/٩٩). این اثر در قرن ۳ ق/ ۹ م به دست ثابت بن قرۀ حرانی (ه‌ م) و با نام المدخل الى علم العدد به عربی ترجمه شد، اما در پایان دو بخش تنها نسخۀ بازمانده از آن با عنوان المدخل الى علم العدد المسمى بالارثماطیقی یاد شده‌است (نیکماخس، ۵۹، ۱۱۴). همچنین یعقوبی (د ۲۸۴ ق/۸۹۷ م) در تاریخ خود که وقایعش به سال ۲۵۹ ق ختم می‌شود، از این کتاب با عنوان ارثماطیقی یاد کرده، و خلاصه‌ای از مطالب آن را آورده است (۱/ ۱۳۹-۱۴۳)، همین نشان می‌دهد که این کتاب به احتمال زیاد پیش از ۲۵۹ ق به عربی ترجمه شده، و در همان زمان معروف بوده است.

«مدخل حساب» نیکماخس کتابی مقدماتی دربارۀ خواص اعداد است که تقریباً یکسره از اثبات خالی است و در غالب موارد پس از ذکـر قضایـا بـه مثالهای عددی اکتفا می‌کند (نک‌ : تاران، ١١٣). مؤلف در این کتاب پس از مقدمه‌ای فلسفی دربارۀ مراتب علوم و منزلت وجودی اعداد ــ که دیدگاه فیثاغورسی و افلاطونی نویسنده در آن آشکار است ــ به تقسیم اعداد می‌پردازد: نخست تقسیم اعداد به زوج و فرد می‌آید (ص ۱۹-۲۰)؛ آن‌گاه به شیوۀ اقلیدس، اعداد زوج را به زوج‌الزوج و زوج‌الفرد تقسیم می‌کند،

اما برخلاف او نه تنها چیزی از اعداد فردالفرد نمی‌گوید، بلکه دستۀ سومی از اعداد به نام زوج زوج‌الفرد (به صورت ) را تعریف می‌کند (ص ۲۰- ۲۸). وی اعداد فرد را به دو دسته تقسیم می‌کند: اعداد اول، و اعداد مرکب و اعدادی که هرچند مرکب‌اند، نسبت به یک عدد دیگر اول محسوب می‌شوند، مانند ۹ که مرکب است، اما نسبت به ۲۵ اول است (ص ۲۹-۳۱). این تعریف بیان غریبی است از مفهوم اقلیدسی دو عدد که نسبت به هم اول هستند (در کتابهای حساب دورۀ اسلامی چنین دو عددی متباین نامیده می‌شوند). نیکماخس به‌خطا ۲ را، چون زوج است، عدد اول نمی‌داند. آن‌گاه روش غربال اراتستن برای یافتن اعداد اول کوچک‌تر از یک عدد مفروض بیان می‌شود (ص ۳۱-۳۶).

در مورد اعداد زوج، نیکماخس آنها را به زائد و ناقص و تام تقسیم می‌کند. عدد ناقص عددی است که از مجموع مقسومٌ‌علیه‌هایش کوچک‌تر باشد، زائد آن است که از مجموع مقسومٌ‌علیه‌هایش بزرگ‌تر باشد و تام آن است که مساوی مجموع مقسومٌ‌علیه‌هایش باشد (ص ۳۶- ۳۸). وی اعداد تام زوج را از همان دستور اقلیدسی به دست می‌آورد. نیکماخس، برخلاف اقلیدس، تقسیم‌بندی تام و ناقص و زائد را تنها برای اعداد زوج ذکر می‌کند.

بیشتر این تقسیم‌بندیها با توضیحاتی کیفی دربارۀ هر یک از این دسته‌های اعداد همراه است. نیکماخس علاقۀ خاصی به تقسیمات سه‌وجهی دارد که دو وجه از آن متقابل با یکدیگرند و وجه سوم واسطۀ میان آنها ست. مثلاً اعداد اول و مرکب را متقابل، و عددی را که نسبت به عدد دیگری اول باشد، واسطۀ میان آنها می‌داند (ص ۳۱). همچنین به اعتقاد او اعداد زوج‌الزوج و زوج‌الفرد متقابل‌اند و اعداد زوج زوج‌الفرد واسطۀ میان آنها هستند (ص ۲۵). همچنین اعداد ناقص و زائد متقابل‌اند و عدد تام واسطۀ میان آنها ست (ص ۳۸). وی، بنا بر مشرب فیثاغورسی خود، عدد تام را متناظر با اعتدال می‌داند. این نظر در بـرخی از آثـار حسابی دورۀ اسلامی بازتاب یافته است (نک‌ : بغدادی، التکملة ... ، ۲۲۷).

نیکماخس پس از بحث دربارۀ کمیت مفرد، یعنی خواص اعداد وقتی به‌تنهایی در نظر گرفته شوند، به بحث دربارۀ کمیت مضاف می‌پردازد و نسبتهای اصلی میان دو عدد، یعنی تساوی و بزرگ‌تری و کوچک‌تری را توضیح می‌دهد. توضیحات او دراین‌باره بسیار کیفی و آمیخته با اندیشه‌های باطنی است. مثلاً تساوی را رئیس (ص ۴۱) و پدر (ص ۵۶) اضافات می‌داند و آن را از نسبتهای دیگر برتر می‌شمارد. شاید به این دلیل باشد که وی نسبتهای دیگر را هم به تساوی تبدیل می‌کند، مثلاً رابطۀ

a >b

را به مجموعه‌ای از روابط به صورت

a =pb+q

تبدیل می‌کند که در آن p و q اعدادی صحیح‌اند (q می‌تواند صفر هم باشد) (ص ۴۲-۵۵). بخش مهمی از کتاب نیکماخس دربارۀ اعداد مسطح (یا مضلّع) و اعداد مجسم است، یعنی اعدادی که اگر واحدهای آنها را به صورت نقاط یا دایره‌های کوچکی فرض کنیم، از کنار هم قرار گرفتنشان اشکال مسطحی چون مثلث و مربع و چند ضلعیهای گوناگون و نیز اشکال فضایی‌ای چون هرمهایی که قاعدۀ آنها چندضلعیهای منتظم است، به دست می‌آید. نیکماخس جدولی از اعداد مسطح به دست می‌دهد:

اعداد مثلثی ۱ ۳ ۶ ۱۰ ۱۵ ۲۱ ۲۸ ۳۶ ۴۵

اعداد مربعی ۱ ۴ ۹ ۱۶ ۲۵ ۳۶ ۴۹ ۶۴ ۸۱

اعداد پنج‌ضلعی ۱ ۵ ۱۲ ۲۲ ۳۵ ۵۱ ۷۰ ۹۲ ۱۱۷

اعداد شش‌ضلعی ۱ ۶ ۱۵ ۲۸ ۴۵ ۶۶ ۹۱ ۱۲۰ ۱۵۳

اعداد هفت‌ضلعی ۱ ۷ ۱۸ ۳۴ ۵۵ ۸۱ ۱۱۲ ۱۴۸ ۱۸۹

این‌گونه نظریه‌ها ریشه در تعالیم کهن فیثاغورسیان و جهان‌بینی آنها که عدد را اصل همه‌چیز می‌دانستند، دارند. به این سبب است که نیکماخس در آغاز مقالۀ دوم کتاب خود دربارۀ عدد به عنوان عنصر، یعنی چیزی تجزیه‌ناپذیر که چیزهای دیگر از آن پدید می‌آید، بحث می‌کند. فارغ از این جنبۀ جهان‌شناختی، کاوش در خواص این‌گونه اعداد ریاضی‌دانان بعدی را به تحقیق در خواص رشته‌های عددی رهنمون شد.

«مدخل حساب» نیکماخس، با همۀ شهرتی که در عالم اسلام داشته، تنها از نظر محتوا، و به‌ویژه در مبحث اعداد مجسم، بر حساب دوران اسلامی تأثیر داشته است و ریاضی‌دانان اسلامی با روش و مبانی فلسفی این کتاب چندان کاری نداشته‌اند (در مورد ادامۀ بحث اعداد مجسم در ریـاضیات غـرب اسلامی، نک‌ : جبار[۵]، سراسر مقاله). ابوالقاسم انطاکی شرحی بر این کتاب با نام تفسیر کتاب ارثماطیقی نوشته (نک‌ : GAS, V / ٣٠) که تنها بخشی از آن باقی مانده است. اما چنان‌که خواهیم دید، آثاری که در این دوران با عنوان «ارثماطیقی» تألیف شده، بیشتر از مقالات حسابی اصول اقلیدس استفاده کرده‌اند تا از کتاب نیکماخس.

این‌گونه تحقیق دربارۀ خواص اعداد، که مسلمانان از راه ترجمه‌های اصول اقلیدس و «مدخل حساب» نیکماخس با آن آشنا شدند، همان چیزی است که در طبقه‌بندیهای علوم، بخش نظری حساب و یا ارثماطیقی و گاه علم عدد خوانده‌شده‌است، و امروزه نظریۀ اعداد نامیده می‌شود، و تعاریفی که حساب را «علم خواص اعداد» می‌دانند، ناظر به این‌گونه حساب است.

 

به‌جز این آثار، مسلمانان منابع یونانی دیگری را می‌شناخته‌اند که به دلیل از میان رفتن آنها محتوا و نوع و دامنۀ مطالبشان معلوم نیست. مثلاً ابوالوفا بوزجانی کتابی در شرح «کتاب ابرخس بثینی در اصول اعداد» داشته است (بوزجانی، ۱۲۶)، اما نه چنین کتابی از راه منابع دیگر شناخته است و نه نویسندۀ آن.

 

ج ـ حساب هندی

در کنار منابع پیشین، که موضوع آنها عمدتاً نظریۀ اعداد است، مسلمانان وارث مجموعه‌ای از فنون محاسبه با اعداد صحیح و کسرها بودند که به دلیل سرشت عملی آنها منشأ غالبشان درست معلوم نیست. چون اعراب پس از فتح ایران و روم وارث شیوه‌های کشورداری ایشان شدند و طبعاً ادارۀ امور این امپراتوری پهناور بدون نگاهداری دقیق خرج و دخل دولت ممکن نبود، از همان آغاز شیوه‌های دیوانی ایرانی، و همراه با آن برخی از روشهای محاسبه را اخذ کردند. داستانی که ابن‌ندیم در مورد تبدیل زبان دفاتر رسمی دولتی از فارسی به عربی در زمان حجاج نقل می‌کند، هرچند شاید با افسانه آمیخته‌باشد، نشان می‌دهد که نبود واژگان مناسب برای حساب یکی از دشواریهای این انتقال شمرده می‌شده‌است (ص ۳۰۳). همچنین اهل حرف و بازرگانان نیز روشهایی برای محاسبه داشته‌اند و دور نیست که برخی از این روشها به متون حسابی دوران اسلامی انتقال یافته باشد.

اما این روشها، هرچه بوده‌اند، به‌استقلال باقی نمانده‌اند و نخستین مجموعه‌ای از روشهای محاسبه که به صورت منسجم به دست ما رسیده، حساب هندی است که مسلمانان کلیات آن را از هندیان گرفتند، هرچند نه تاریخ این انتقال روشن است و نه سهم ایشان در توسعۀ آنچه از هندیان گرفته بودند.

دربارۀ شناخت مردم خاورمیانۀ پیش از اسلام از روشهای محاسباتی هندیان، تنها آگاهی ما اشاره‌ای است از سِوِروس سِبُخت، اسقف سریانی، که در ۶۶۲ م یونانی‌زبانان را نکوهش می‌کند که چرا همۀ دانشها را از خود (یعنی یونانیان) می‌دانند و برای اثبات دعوی خود که علم از آن همۀ ملتها ست، از روش محاسبۀ هندیان و محاسبات ایشان سخن می‌گوید که «هرچه از آن بگوییم کم گفته‌ایم، یعنی محاسباتی که با ۹ نشانه انجام می‌شود» (برخلاف یونانیان که اعداد را با حروف الفبا نمایش می‌دادند) (نو[۶]، ٢٢٦). سوروس اسقف قِنَّسرین در کرانۀ فرات بود که در ۶۳۷ م به تصرف مسلمانان درآمد، اما پیش از آن، تا ۶۲۸ م که رومیان و ایرانیان صلح کردند، مدتی در دست ایرانیان بود. بنابراین، به دلیل روابط فرهنگی میان هند و ایران در پیش از اسلام، دور نیست که آگاهی سوروس از نظام عددنویسی هندی از راه ایران بوده باشد. همچنین در بخشی از

کتاب «هندسۀ» بوئسیوس، فیلسوف لاتینی‌زبان قرن ۶ م، آمده‌است که هندیان روشهای مختلفی در محاسبه دارند که یکی از آنها استفاده از ارقام از ۱ تا ۹ است. اما در اینکه این بخش از «هندسه» از بوئسیوس باشد، تردید است. بیرونی نیز تصریح کرده است که هندیان به هیچ وجه از حروف برای نمایش اعداد استفاده نمی‌کنند، بلکه همان ارقام نه‌گانه را به کار می‌برند. بیرونی به اختلاف شکل ارقام در میان هندیان اشاره می‌کند و می‌گوید که آنچه ما به کار می‌بریم از بهترین آنها گرفته‌شده‌است ( تحقیق ... ، ۸۲-۸۳). همچنین عبارت بیرونی نشان می‌دهد که در روزگار او محاسبه بر روی لوحی پوشیده از غبار همچنان در هند رایج بوده است (همان، ۸۳؛ نیز نک‌ : ووپکه، ٣٥٩). برخی از نوشته‌های متأخر اسلامی نیز، در بیان وجه تسمیۀ «حساب غبار»، استفاده از این وسیله را به هندیان نسبت داده‌اند (قلصادی، ۳۶).

ابداع دستگاه اعداد ده‌گانی با ارقام نه‌گانه به قرون اولیۀ میلادی باز می‌گردد، اما نخستین سند کتبی که دراین‌باره از هند باز مانده، مربوط به ۵۹۵ م است. از قرن ۸ م به بعد این ارقام در سنگ‌نوشته‌ها و دست‌نوشته‌ها دیده می‌شود. نخستین مورد از صفر به صورت دایره‌ای توخالی از ۲۵۶ ق / ۸۷۰ م بازمانده‌است. در بسیاری از آثار نجومی هندی بخشهای اول به حساب اختصاص دارد، از جمله ۳ فصل اول کتاب براهماسپوته سیدهنتا[۷] که در ۶۲۸ م تألیف شده‌است و بخش اول کتابی از بهاسکره[۸] که لیلاوتی[۹] نام دارد (فولکرتس، ١-٣). بسیاری از قواعد آثار حسابی دوران اسلامی در متون هندی نیز یافت می‌شود، از جمله قاعدۀ برای جذرگیری تقریبی که بعدها در بسیاری از آثار حساب اسلامی آمده است.

۴. گونه‌های اصلی حساب در دوران اسلامی

الف ـ نظریۀ اعداد

به‌جز برخی از روابط نظریۀ اقلیدسی و نوفیثاغورسی اعداد که در بسیاری از کتابهای حساب، با اثبات یا بدون اثبات آمده است (نک‌ : دنبالۀ مقاله)، آثاری که در جهان اسلام مستقلاً دربارۀ نظریۀ اعداد نوشته شده‌اند، به دو دستۀ اصلی تقسیم می‌شوند: یکی آثاری که در ضمن دائرة‌المعارفهای فلسفی مانند شفا و نجات ابن‌سینا و بخش حساب دانشنامۀ علایی (که افزودۀ جوزجانی است) و رسائل اخوان الصفا و درة ‌التاج قطب‌الدین شیرازی آمده‌اند، و دیگر آثاری که به پژوهش در یکی از مسائل خاص نظریۀ اعداد می‌پردازند. کتاب ارثماطیقی شفای ابن‌سینا، هرچند به قصد تکمیل این دائرة‌المعارف فلسفی نوشته شده است و بنابراین، از لحاظ محتوای ریاضی نوآوری چندانی در آن دیده نمی‌شود، نمونه‌ای است از آثار عمومی در زمینۀ نظریۀ اعداد. ابن‌سینا نیز، مانند نیکماخس، اعداد را به زوج و فرد، و اول و مرکب، و زوج الزوج و زوج الفرد و زوج زوج الفرد تقسیم می‌کند، اما به جای بحثهای کیفی نیکماخس، در هر مورد تنها به بیان خواص ریاضی اعداد اکتفا می‌کند. در غالب موارد هم تصریح می‌کند که منبع اصلی او کتاب اصول اقلیدس ( کتاب الاسطقسات) است. مثلاً در مورد تقسیم‌بندی اعداد فرد می‌گوید که به آنچه در کتاب اصول آمده است، اکتفا می‌کند ( الشفاء، ریاضیات، ۲۴). ابن‌سینا، مانند ماخس، نخستین و شناخته‌شده‌ترین خاصیت عدد را این می‌داند که هر عدد نصف مجموع دو عدد است که از دو سو به یک اندازه با آن فاصله دارند (همان، ۱۸؛ نیز نک‌ : نیکماخس، ۲۰؛ قطب‌الدین، ۲). به عبارت دیگر، برای هر داریم

سپس برخی از روابط اساسی را برای اعداد طبیعی ثابت می‌کند. از جمله، برای هر داریم:

 

 

ـ مجموع اعداد طبیعی ابتدا از واحد:

 

 

ـ جملۀ n ام تصاعد عددی با جملۀ اول ۱a و قدر نسبت r :

ـ مجموع n جملۀ تصاعد عددی با جملۀ اول ۱a و قدر نسبت r :

در مورد اعداد فرد، ابن‌سینا روابط زیر را ذکر می‌کند:

ـ مجموع n عدد فرد ابتدا از واحد:

 

ابن‌سینا می‌گوید که اگر ۲n عدد فرد متوالی ابتدا از واحد را در جدولی با n سطر و n ستون قرار دهیم، مجموع جمله‌های داخل جدول برابر است با ۴n و مجموع جمله‌های روی هر قطر برابر است با ۳n (همان، ۲۶).

در مورد اعداد زوج، ابن‌سینا روابط زیر را ذکر می‌کند:

بین هر ۳ عدد زوج الزوج متوالی a, b, c این روابط برقرار است:

 

 

ابن‌سینا اعداد متحاب را به صورت دو عدد که مجموع مقسومٌ‌علیه‌های هر یک با دیگری برابر است تعریف می‌کند و دو زوج عدد متحاب ۲۲۰ و ۲۸۴ را ذکر می‌کند (همان، ۲۸).

وی مانند اقلیدس اعداد را به زوج الزوج و زوج الفرد تقسیم می‌کند و در مورد اعداد زوج الفرد، این خواص را ذکر می‌کند:

ـ اگر ، آن‌گاه:

ـ اگر ۲n عدد زوج‌الفرد متوالی را در جدولی مربعی قرار دهیم، خانه‌های جدول این خواص را دارند:

رقم یکان اولین عدد هر سطر جدول با آخرین عدد آن با هم مساوی است؛

مجموع دو عدد دو سر هر قطر جدول با مجموع دو عدد دو سر قطر دیگر آن مساوی است؛

اعداد هر ستون تشکیل یک تصاعد عددی می‌دهند.

بسیاری از این روابط در کتاب «مدخل حساب» نیکماخس وجود ندارند، و هرچند ابن‌سینا بیشتر آنها را ثابت نمی‌کند و به ذکر مثالهای عددی اکتفا می‌کند، غالب آنها از اصول اقلیدس گرفته شده‌اند یا به کمک قضایای آن کتاب قابل اثبات‌اند. بسیاری از این روابط در بخش ارثماطیقی درة التاج قطب‌الدین شیرازی، که ترجمه‌ای است توأم با تلخیص از ارثماطیقی شفا، رسائل اخوان الصفا و برخی از آنها در جمل الفلسفۀ محمد بن علی بن عبدالله هندی (نک‌ : برنتیس[۱]، سراسر مقاله) آمده است.

گذشته از آثاری که مختص این‌گونه حساب تألیف شده‌است، در غالب آثار حسابی دور‌ۀ اسلامی که موضوع اصلی آنها حساب هندی یا حساب هوایی است، بسیاری از این روابط، در کنار روابط دیگری که میان اعداد صحیح برقرار است، گاهی به صورت فصلی مجزا و گاهی در خلال فصول دیگر، ذکر شده‌اند. مطالبی چون تقسیم اعداد به زوج الزوج و زوج الفرد و زوج الزوج و الفرد (اموی، ۲۴؛ غیاث‌الدین، ۴۷)؛ به اول و مرکب (بغدادی، التکملة، ۲۲۶)؛ تقسیم اعداد به تام و زائد و ناقص (همانجا)؛ دستور یافتن اعداد تام (همان، ۲۲۷، که به اصول اقلیدس ارجاع می‌دهد)؛ تقسیم اعداد به مشترک و متباین و متعادل متناسب و متحاب (همان، ۲۲۹؛ نیز نک‌ : علی بن یوسف، ۵-۶؛ غیاث‌الدین، ۱۱۴-۱۱۵)؛ ذکر قاعده‌ای برای یافتن اعداد متعادل (دو عدد که مجموع مقسومٌ‌علیه‌هایشان یکی باشد) (بغدادی، همان، ۲۲۹-۲۳۰)؛ فرمولهای مجموع رشته‌های مختلف عددی (اموی، ۳۱-۳۶). همچنین بسیاری از قضایای نظریۀ اعداد، بدون اثبات، در کتابهای حساب آمده است. مانند این قضیه که تنها عددی که یک‌ونیم برابر مجموع مقسومٌ‌علیه‌های خود است، عدد ۲۴ است (بغدادی، همان، ۲۴۰). این مقدار از نظریۀ اعداد ظاهراً حداقلی بود که برای هر محاسبی ضروری شمرده می‌شد و در یاد داشتن آنها وی را در عملیات با اعداد و نیز ساده کردن برخی از مسائل یاری می‌کرد. همچنین در برخی از آثار نجومی مانند التفهیم بیرونی، بخشهایی از نظریۀ اقلیدسی اعداد و تناسب، با تعبیر حسابی، آمده است (نک‌ : ص ۳۳-۴۰).

بااین‌حال، توجه ریاضی‌دانان دوران اسلامی به این بخش از نظریۀ اعداد که از یونانیان به ایشان رسیده بود، منحصر نبود، بلکه پژوهش در بخشهای خاصی از حساب نظری نیز، عمدتاً تحت تأثیر علم جبر، در این دوره رواج داشت و به نتایج مهمی منجر شد که از حد نظریۀ اقلیدسی و نوفیثاغورسی اعداد فراتر می‌رود. در ادامه برخی از مهم‌ترین این نتایج ذکر می‌شود:

 

اعداد مجسم و حساب ترکیبات

یکی از مسائل نظریۀ اعداد که ریاضی‌دانان مسلمان به آن پرداخته‌اند، اعداد مسطح یا مضلع است. این اعداد در آثار حسابی دوران اسلامی از جمله در ارثماطیقی شفا و آثار عبدالقاهر بغدادی و اموی آمده‌اند (در مورد بغدادی و اموی، نک‌ : سعیدان، ٣٤٢-٣٤٤). تحقیق در این آثار ریاضی‌دانان این دوره را به پژوهش در رشته‌های عددی و به‌ویژه در مجموع توانهای مختلف اعداد صحیح ابتدا از واحد رهنمون شد. از جمله فرمول مجموع توانهای سوم عددهای صحیح ابتدا از واحد

 

 

(بغدادی، همان، ۲۳۸؛ ابن‌هائم، المعونة، گ ۱۸ پ) و نیز فرمول جمع جمله‌های یک تصاعد هندسی که در حل مسئلۀ معروف خانه‌های شطرنج کاربرد داشت. اما بسیاری از ایشان، برخلاف نیکماخس، به اثبات این روابط علاقه داشتند (راشد، «از خوارزمی[۲] ... »، ٢٧٧-٢٧٨). برخی از این اثباتها در جریان پژوهشهای دیگر ریاضی لازم می‌شد؛ ازجمله ابن‌هیثم، در رساله‌ای که موضوع آن محاسبۀ حجم سهمی‌وار دوار است، اثبات می‌کند که مجموع توانهای چهارم اعداد صحیح از رابطۀ زیر به دست می‌آید:

 

 

روش ابن‌هیثم، که بر نوعی استقراء کامل مبتنی است، کلی است و برای محاسبۀ هر توانی از اعداد صحیح به کار می‌آید. قانونی که ابن‌هیثم برای محاسبۀ مجموع توانهای دلخواه اعداد صحیح به دست می‌آورد، به این صورت است:

 

(نک‌ : همو، «حساب بی‌نهایت [۳]... »۲، II / ۱۸۲، «از خوارزمی»، ۲۷۸).

پژوهش در اعداد مجسم، مستلزم آشنایی با حساب ترکیبات و شناخت عناصر مثلث حسابی (مثلث معروف به مثلث پاسکال) است. امروزه معلوم شده است که کشف این مثلث به هیچ وجه کار پاسکال نیست و ریاضی‌دانان اسلامی دست‌کم از قرن ۴ ق به بعد آن را می‌شناخته‌اند. یکی از نخستین سرچشمه‌های حساب ترکیبات در جهان اسلام کوششهای نخستین فرهنگ‌نویسان عربی‌زبان برای محاسبۀ تعداد ریشه‌هایی است که می‌توان از حروف الفبای عربی ساخت. خلیل بن احمد فراهی در کتاب العین خود شمار ریشه‌های ۲ تا ۵ حرفی را که می‌توان از ۲۸ حرف الفبای عربی ساخت، محاسبه می‌کند. هرچند بخشی از العین که این محاسبات را شامل بوده از میان رفته است، سیوطی نتایجی را که خلیل به دست آورده، از حمزۀ اصفهانی نقل کرده است. به گفتۀ حمزۀ اصفهانی، خلیل این اعداد را به دست آورده بوده است: ریشه‌های ۲ حرفی: ۷۵۶؛ ریشه‌های ۳ حرفی: ۶۵۶‘ ۱۹؛ ریشه‌های ۴ حرفی: ۴۰۰‘۴۹۱؛ ریشه‌های ۵ حرفی: ۶۰۰‘ ۷۹۳‘۱۱. این نتایج کاملاً درست‌اند، اما معلوم نیست که خلیل بن احمد این اعداد را به چه روشی به دست آورده بوده‌است. تنها چیزی که دراین‌باره می‌دانیم، مطالبی است که ابن‌خلدون آورده است و از آن چنین برمی‌آید که خلیل از روشهای ترکیباتی و جایگشتها استفاده‌می‌کرده‌است (نک‌ : راشد، همان، ١١٢-١١٦).

یکی از نخستین کوششهای آگاهانه در پی‌ریزی حساب ترکیبات در رساله‌ای از نصیرالدین طوسی دیده می‌شود که برای محاسبۀ شمار موجوداتی که بر اساس قاعدۀ «الواحد لا یصدر عنه الا الواحد» در مراتب مختلف صدور از واحد صادر می‌شوند، صراحتاً از چند رابطۀ ترکیباتی مانند رابطۀ

 

 

که شمار ترکیبهای n عنصر را به دست می‌دهد و رابطۀ

 

 

استفاده می‌کند (نک‌ : راشد، ۲۷۲). کار طوسی را ریاضی‌دانی به نام حلبی دنبال کرده است. در محاسبات طوسی، عناصر مثلث حسابی یعنی ضرایب بسط جای مهمی دارد.

 

اعداد متحاب و اعداد تام

هرچند اقلیدس و نیکماخس و سایر ریاضی‌دانان یونانی فرمولی برای به دست آوردن اعداد متحاب به دست نداده بودند، کوشش برای یافتن ضابطه‌ای برای این اعداد دست کم از قرن ۳ ق / ۹ م آغاز می‌شود. ثابت بن قره در رساله‌ای به نام فی استخراج الاعداد المتحابه قضیۀ زیر را در مورد این اعداد، با استفاده از قضیه‌ای از مقالۀ دهم اصول اقلیدس ثابت می‌کند:

برای ۱ n >، اگر و qn= و pn و qn اول باشند، آن‌گاه و متحاب‌اند. ثابت بن قره با این استفاده از این فرمول همان زوج ۲۲۰ و ۲۸۴ را، که پیـش از او هـم شنـاخته بـود، بـه دست می‌آورد (نک‌ : همـو، «از خوارزمی»، ۲۷۰-۲۷۱).

در همین رساله، ثابت دستور اقلیدس را برای به دست آوردن اعداد تام اثبات می‌کند. اثبات او شکل کلی‌تری دارد، بدین صورت که نه تنها ثابت می‌کند که اگر اول باشد عدد تام است، بلکه نشان می‌دهد که اگر p عدد اولی کوچک‌تر از s باشد، آن‌گاه زائد است و اگر p عدد اولی بزرگ‌تر از s باشد، آن‌گاه ناقص است، و در هر دو حالت زیادت یا نقصان برابر است با تفاضل s و p (قربانی، ۵۳-۵۴).

در قرن ۸ ق / ۱۴ م، کمال‌الدین فارسی در رساله‌ای به نام تذکرة الاحباب فی بیان التحاب، قضیۀ ثابت را به صورت جبری اثبات می‌کند و با این کار برای اولین‌بار تابعهای حسابی را درنظر می‌گیرد، روشهای ترکیباتی لازم را فراهم می‌آورد و نیز دربار‌ۀ اعداد مجسم پژوهش می‌کند (راشد، «از خوارزمی»، ۲۷۲). وی در این رساله جفت اعداد متحاب ۲۹۶‘ ۱۷ و ۴۱۶‘۱۸ را، که پیش از این گمان می‌رفت در قرن ۱۶ م به دست فرما[۴] کشف‌شده، محاسبه می‌کند. پس از وی، محمد باقر یزدی، در باب هفتم از کتاب عیون الحساب خود، جفت ۵۸۴‘ ۳۶۳‘۹ و ۰۵۶‘ ۴۳۷‘۹ را که پیش از این به دکارت منسوب بود، به دست می‌آورد (همان، ٢٧٢-٢٧٣).

 

ب ـ حساب هندی

 

نخستین اثری که از دوران اسلامی در این موضوع می‌شناسیم کتاب حساب الهند محمد بن موسى خوارزمی (ه‌ م) است. در فهرست ابن‌ندیم تنها آثار خوارزمی در نجوم و تاریخ ذکرشده‌است، اما همو از جملۀ آثار سند بن علی، که نامش بلافاصله پس از خوارزمی آمده است، از دو کتاب از او به نامهای الجمع و التفریق و حساب الهند یادکرده‌است. ظاهراً این دو نام یا بر اثر اشتباه کاتبان از فهرست آثار خوارزمی به فهرست آثار سند بن علی منتقل شده، و یا خوارزمی و سند بن علی، که معاصر او و احتمالاً از وی جوان‌تر بوده است، هر دو کتابهایی به این دو نام داشته‌اند. به‌هرحال، از سند بن علی هیچ اثری به این نامها باقی نمانده‌است و مؤلفان نزدیک به روزگار ابن‌ندیم بسط حساب هندی را به خوارزمی نسبت داده‌اند (صاعد، ۱۵۷). همچنین با اینکه متن عربی این دو کتاب از میان رفته‌است، اما در ترجمۀ لاتینی بازمانده از یکی از این دو اثر، کتاب صراحتاً به خوارزمی نسبت داده‌شده‌است.

حتى درست معلوم نیست که این دو کتاب دو اثر مستقل بوده‌اند یا یک اثر که گاهی به یک نام و گاهی به نام دیگر نامیده‌می‌شده‌است. آنچه احتمال وجود دو اثر را تقویت می‌کند، یکی گفتۀ ابن‌ندیم است و دیگر اینکه وی، گذشته از سند بن علی، به سنان بن فتح نیز دو کتاب با همین نامها نسبت‌می‌دهد (ص ۳۳۹-۳۴۰)، و سوم اینکه آثاری که به حساب هندی نام‌بردار شده‌اند، به جمع و تفریق اکتفا نمی‌کنند، بنابراین بعید است که خوارزمی کتاب حساب الهند خود را جمع و تفریق هم نامیده باشد؛ مگر اینکه جمع و تفریق را، به صورتی که در برخی از آثار بعدی حساب آمده، طوری تعبیر کنیم که ضرب و تقسیم را هم شامل شوند. اما شاید نیرومندترین دلیل این باشد که بغدادی (د ۴۲۹ ق/۱۰۳۷ م) مطلبی را دربارۀ محاسبۀ زکات از کتاب خوارزمی «در جمع و تفریق» نقل‌کرده‌است (نک‌ : التکملة، ۲۷۳-۲۷۵)؛ چون نه در جبر و مقابلۀ خوارزمی چیزی دربارۀ محاسبۀ زکات هست و نه در متون لاتینی که از کتاب حساب الهند او اقتباس شده‌اند، می‌توان گفت که بغدادی این مطلب را از اثر گمشده‌ای از خوارزمی نقل‌کرده‌است. اما دلایلی که احتمال یکی بودن این دو اثر را تقویت می‌کند، یکی این است که برخلاف کتاب حساب الهند خوارزمی، که سرآغاز سنت گسترده و نیرومندی در نوشتن آثاری از این دست بوده‌است که غالب آنها همین نام را داشته‌اند، کتاب الجمع و التفریق او، اگر وجود داشته، جز همان دو اثری که ابن‌ندیم به سنان بن فتح و سند بن علی نسبت داده، دنباله‌ای نداشته است. دیگر اینکه برخی از مؤلفان قدیم از این دو چنان یاد کرده‌اند که گویی یک چیز بوده‌اند. ازجمله ابن‌سینا در دو مورد، یکی در رسالۀ «اقسام الحکمة» (ص ۱۱۲) و دیگری در پایان ارثماطیقی شفا (ص ۶۹) از «الجمع و التفریق بالهندی»، به‌عنوان یکی از فروع علم عدد، سخن می‌گوید. همچنین آثار لاتینی‌ای که به اقتباس از اثر خوارزمی نوشته شده‌اند، و برخی از آنها شاید ترجمه‌های نزدیک به اصل اثر او باشند، همه به کتاب حساب الهند معروف‌اند.

 

حساب هندی با ۳ ویژگی از روشهای دیگر محاسبه متمایز می‌شود. یکی کاربرد ارقام ۱ تا ۹ با ارزش مکانی، دیگری استفاده از نماد خاصی برای صفر، معمولاً به صورت یک دایر‌ۀ کوچک توخالی (نک‌ : ه‌ د، اعداد و ارقام)، و سوم وسیله‌ای که برای محاسبه به کار می‌رفت و آن لوحی بود که غبار نرمی روی آن می‌افشاندند و اعدادی را که محاسبه رویشان انجام می‌شد، با قلمی (میل) روی آن می‌نوشتند. استفاده از این وسیله این امتیاز را داشت که محاسبه‌گر می‌توانست در هر مرحله از محاسبه عدد یا رقمی را پاک (محو) کند و چیز دیگری به جای آن بنویسد. به این اعتبار، حساب هندی را حساب تخت و تراب و حساب غبار و حساب تخت و میل هم می‌نامیدند، گرچه این نامها همیشه بر یک چیز دلالت نمی‌کرد. گاهی واژۀ حساب هندی را بر روشهای محاسبه‌ای که دو ویژگی نخست را داشت، اطلاق می‌کردند، فارغ از اینکه این محاسبات به کمک تخت و میل انجام می‌شد، یا روی کاغذ یا وسیله‌ای دیگر. گاهی نیز از این واژه محاسباتی را می‌فهمیدند که با استفاده از ارقام هندی، به صورتی که در شرق اسلامی رایج بود، و با اندکی تفاوت همان ارقامی است که ما امروزه به کار می‌بریم و در زبانهای اروپایی ارقام هندی خوانده می‌شود، انجام می‌شد؛ در مقابل، واژ‌ۀ حساب غبار را بر محاسبه با ارقام هندی به شکلی که در غرب اسلامی رایج بود، و بسیار شبیه به ارقام امروزی اروپایی است که در زبانهای اروپایی ارقام عربی خوانده می‌شود، اطلاق می‌کردند (نک‌ : ه‌ د، اعـداد و ارقـام). شاید بـه این دلیل باشد که در میان آثار قلصادی، ریاضی‌دان اندلسی (د ۸۹۱ ق / ۱۴۸۶ م) دو اثر به نامهای تبصرة المبتدی بالقلم الهندی و کشف الاسرار عن علم حروف الغبار می‌بینیم (نک‌ : ص ۱۲).

استفاده از تخت و میل به محاسب امکان می‌داد که در هر مرحله از محاسبه عددی را از روی تخت بزداید و به جای آن عدد دیگری بنویسد. در کتابهای حساب هندی، این کار به‌تفصیل و در مـورد هـر یک از اعمـال حسـابی ــ چهـار عمـل اصلی و نیـز استخراج جـذر و کعـب ــ بـر روی اعـداد صحیح و کسرها شرح داده شده است. همچنین گاه برای یک عمل چند روش بیان‌شده‌است که همۀ آنها در اساس یکی هستند. مثلاً دربارۀ ضرب اعداد صحیح از «ضرب مستقیم» (بغدادی، التکملة، ۵۱-۵۵)، «ضرب بالاَصفار» (همان، ۵۵-۵۷) و «ضرب بالطول و التوشیح» گفت‌وگو می‌شود. اصول این روش در مورد جمع، که نمونه‌ای از اعمال حسابی دیگر است، از این قرار است: معمولاً دو عددی را که می‌خواستند با هم جمع کنند، بالای هم می‌نوشتند به‌طوری‌که هر مرتبه‌ای از یکی بالای مرتبۀ نظیر خود از عدد دیگر قرار می‌گرفت. آن‌گاه جمع را از آخرین رقم راست یا چپ یکی از دو عدد آغاز می‌کردند، و در هر مرحله، یکی از ارقام عدد بالایی را پاک می‌کردند و حاصل عمل را به جای آن می‌نوشتند، به‌طوری‌که در آخرین مرحله ــ وقتی که آخرین عدد از ردیف پـایین بـا آخرین عـدد ردیف بـالایی جمع می‌شد ــ عدد بالایی به‌کلی پاک گردیده، و حاصل جمع به جای آن نوشته‌شده‌بود. در مورد ضرب نیز همین کار را می‌کردند، با این تفاوت که در ضرب، هر یک از ارقام یک سطر در تمامی ارقام سطر دیگر، با توجه با ارزش مکانی آنها ضرب می‌شد و به تدریج که ضرب پیش می‌رفت، ارقام حاصل ضرب به جای ارقام یکی از عوامل ضرب می‌نشست و ارقام این عامل ضرب از روی لوح پاک می‌شد (برای نمونه‌ای از ضرب، نک‌ : سعیدان، ٣٣٧-٣٣٨).

در مورد جذر و کعب به همین شیوه عمل می‌شد. در جذرگیری لازم بود که محاسب اعدادی را که مربع کامل هستند، از پیش بشناسد. در مورد جذر تقریبی اعدادی که مربع کامل نیستند، خوارزمی از همان فرمول هندی استفاده کرده است، اما جانشینان او، ازجمله عبدالقاهر بغدادی، تقریب دقیق‌تر را به کار برده‌اند. بغدادی می‌نویسد که محاسبان زمان او این تقریب را ترجیح می‌داده‌اند و دقیق‌تر بودن آن را با ذکر مثالی عددی نشان می‌دهد، اما نسوی (د ۴۸۳ ق) در توجیه دقیق‌تر بودن آن به رابطۀ متوسل می‌شود و به این طریق نشان می‌دهد که این گونه جذرگیری درواقع بر درون‌یابی خطی میان مقادیر a و ۱a+ استوار است (نک‌ : ص ۲۱). غالب آثار بعدی همین تقریب را در مورد جذر به کار برده‌اند (حاسب، مفتاح ... ، ۶۰؛ علی بن یوسف، ۲۲). چون دقت این روش برای اعداد کوچک کم است، برای افزایش دقت جذرگیری، عدد مورد نظر را در یک عدد مربع کامل ضرب می‌کردند، و پس از جذرگیری از عدد حاصل، آن را بر جذر آن عدد تقسیم می‌کردند. رایج‌ترین شیوه این بود که عدد مورد نظر را در توان زوجی از ۱۰ ضرب می‌کردند و پس از جذرگیری، عدد حاصل را بر جذر آن توان ۱۰ تقسیم می‌کردند. این روش را، که با استفاده از آن می‌توانستند دقت جذرگیری را تا هر اندازه که بخواهند بالا ببرند، «جذر بالاصفار» می‌نامیدند. معمولاً در این روش به بخش صحیح جذر اکتفا، و از بخش کسری آن چشم‌پوشی می‌کردند، اما گاه بخش کسری را هم در نظر می‌گرفتند.

در آغاز واژۀ حساب هندی بر آثاری اطلاق می‌شد که محاسبات با ارقام نه‌گانه را به کمک تخت و میل توضیح می‌دادند. برخی از این آثار به استفاده از تخت و تراب تصریح می‌کنند و برخی دیگر، مانند شمارنامۀ‌ محمد بن ایوب طبری (نک‌ : ه‌ د، حاسب طبری) و اصول حساب الهند از کوشیار گیلی (ه‌ م) را نیز هرچند از این وسیله نام نمی‌برند، باید جزو آثار مربوط به تخت و تراب شمرد، زیرا در توضیح عملیات حسابی از «محو» کردن عددی و نوشتن عددی دیگر به جای آن (حاسب، شمارنامه، ۷، ۱۰؛ کوشیار، ۷۱-۷۲) سخن می‌گویند و نیز گاهی مراحل واسطی را که هنگام محاسبه روی تخت ظاهر می‌شود، ذکر می‌کنند (حاسب، همان، ۱۶- ۱۹؛ کوشیار، ۷۴-۷۵). گذشته از این، حاسب طبری خود در آغاز مفتاح المعاملات (ص ۳) تصریح می‌کند که در شمارنامه از ضرب و تقسیم و جذر «به تخت و میل» سخن گفته است. استفاده از حساب تخت و تراب ظاهراً با رواج کاغذ در قرون بعدی متروک شد. حتى اقلیدسی هم فصلی دربارۀ «حساب هندی بدون تخت و محو و با مرکب و کاغذ» آورده است، زیرا در همان روزگار او کسانی استفاده از تخت و تـراب را دون شـأن خـود می‌دیـدند (نک‌ : ص ۳۱۵ بب‌ )، و گمـان می‌بردند که این کار از آنِ کسانی است که سر راهها می‌نشینند و از راه تنجیم نان در می‌آورند.

دست‌کم بسیاری از آثار بعدی هم که حساب هندی نام دارند، مانند المقنع فی الحساب الهندی نسوی (ه‌ م) هیچ اشاره‌ای به روشهای خاص حساب تخت و تراب نمی‌کنند. با این حال، در قرن ۷ ق/۱۳ م، خواجه نصیرالدین طوسی جوامع الحساب بالتخت و التراب را نوشت که مانند بسیاری دیگر از آثار او جامع روشهایی است که تا آن زمان در این حوزه به کار می‌رفته‌است. آثاری مانند لب الحساب علی بن یوسف محاسب، که احتمالاً در قرن ۶ ق تألیف شده، و شمس الحساب فخری از شمس‌الدین محمد خنجی فارسی (نک‌ : مقدمه، ۲۹-۳۱)، که احتمالاً در اواخر قرن ۷ یا اوایل قرن ۸ ق نوشته‌شده، و مفتاح الحساب غیاث‌الدین کاشانی (ه‌ م) که در قرن ۹ ق تألیف شده است و خلاصة الحساب شیخ بهایی و شرحهای آن سخنی از حساب با تخت و تراب نمی‌گویند و حتى مؤلف شمس الحساب در یک مورد به کاربرد کاغذ در محاسبه تصریح می‌کند (نک‌ : خنجی، گ ۲۲ پ). با اینکه ابن‌اکفانی زیر عنوان «حساب تخت و میل» می‌نویسد که «مغربیان را در اعمال جزئی ]دراین‌باره[ شیوه‌هایی خاص است که دیگران از آن بی‌بهره‌اند، که برخی از آنها مانند شیوه‌های ابن‌یاسمین آسان‌یاب و برخی دیگر چون شیوه‌های حصّار دشوار است» (ص ۶۱). آثار مهم حسابی غرب جهان اسلام، از جمله تلخیص اعمال الحساب از ابن بنّای مراکشی (۶۵۴-۷۲۱ ق/۱۲۵۶-۱۳۲۱ م)، که در اندلس و شمال افریقا اثری بسیار رایج بود، و شرحهای آن مانند رفع الحجاب از همو و شرح تلخیص اعمال الحساب از قلصادی (د ۸۹۱ ق/۱۴۸۶ م) به استفاده از تخت و تراب تصریح نمی‌کنند.

 

 

ج ـ حساب هوایی

شیوۀ دیگری در محاسبه، که شاید ریشه‌های کهن‌تری داشته باشد، حساب الید است که حساب هوایی و حساب مفتوح (همو، ٦٠) هم خوانده شده است. حساب الید نیز، مانند حساب هندی، بر استفاده از ارقام نه‌گانه (و صفر) و ارزش مکانی مبتنی بود، اما در این شیوه عملیات به صورت ذهنی انجام می‌شد و یا دست‌کم این شیوۀ محاسبه به کاربرد وسیلۀ خاصی وابسته نبود یا به گفتۀ ابن‌اکفانی به استفاده از ارقام نوشتاری (رقوم خطیه) پایبند نبود و به صورتهای خیالی (صور خیالیه) اکتفا می‌کرد (همانجا). حساب هوایی با حساب انگشتی (حساب عقود ارامل، نک‌ : دنبالۀ مقاله) ارتباط داشت، و احتمالاً در هر مرحله از محاسبه، مقدار به دست آمده (محفوظ) را به کمک انگشتان دست نگاه می‌داشتند (سعیدان، ٣٣١-٣٣٣). شاید به این دلیل است که این‌گونه حساب، «حساب الید» نامیده‌شده‌است. در کتابهایی که دربارۀ حساب هوایی نوشته‌شده‌است، و غالب آنها عنوان «فی الحساب» دارند، روشهای متنوعی برای اعمالی چون ضرب و تقسیم ذکرشده‌است که محاسبۀ ذهنی را آسان می‌کند.

در کتابهای حساب هوایی نخست مراتب اعداد ذکر می‌شود که عبارت‌اند از یکان و ده‌گان و صدگان. مراتب بالاتر، از ترکیب این مراتب ساخته می‌شود (کرجی، الکافی، ۳۸؛ ابن‌هائم، مرشدة ... ، ۷۲؛ ابن‌بنا، تلخیص، ۴۰). سپس اعداد به مفرد و مرکب تقسیم می‌شوند، اعداد مفرد به صورت اند و اعداد مرکب به صورت ، که در آن هر ، که یکی از رقمهای ۱ تا ۹ است، یک «عقد» (جمع آن: عقود) نامیده می‌شود (کرجی، همانجا؛ حاسب، مفتاح، ۴۷- ۴۸). قاعدۀ ضرب اعداد مفرد بدین صورت است:

 

 

با این تعریف، در ضرب اعداد مرکب، مضروب و مضروبٌ‌فیه هر یک به مجموعی از اعداد مفرد تبدیل می‌شوند و حاصل ضرب از ضرب هر یک از اعداد مفرد مضروبٌ‌فیه در همۀ اعداد مفردی که مضروب را می‌سازند و جمع حاصل این ضربها به دست می‌آید. این قاعده را می‌توان تعمیم قاعده‌ای دانست که خوارزمی در جبر خود برای ضرب اعداد دو رقمی به دست می‌دهد:

 

 

جز این قاعدۀ کلی، در کتابهای حساب هوایی قواعد دیگری هم برای ضرب ذهنی دو عدد در یکدیگر آمده است که بغدادی آنها را «اختصار» می‌نامد و هر یک در مورد اعداد خاصی کاربرد دارند. مثلاً قاعدۀ

 

 

وقتی به کار می‌آید که مجموع مضروب و مضروبٌ‌فیه عدد مفردی باشد (بغدادی، التکملة، ۱۶۸- ۱۶۹؛ کرجی، همان، ۴۴) همچنین روشهای دیگری برای ضرب به دست داده می‌شود که هر یک در مورد اعداد خاصی کاربرد دارند (نک‌ : همان، ۳۹- ۴۸؛ اموی، ۴۰-۴۲). حاسب طبری در مفتاح المعاملات ۵ روش برای ضرب ذهنی را، هر یک به نام ویژه‌ای، شرح می‌دهد ــ ضرب یکدست (ص ۵۰)، ضرب به نسبت (ص ۵۰-۵۱)، ضرب به قسمت (ص ۵۱)، ضرب ناقص (ص ۵۱-۵۲)، ضرب زائد (ص ۵۲-۵۳) ــ که بیشتـر آنها همان روشهایی است که پیش از او کرجی و بغدادی بیان کرده‌اند. برخی از این قواعد به کتابهای بعدی نیز راه‌یافته‌است (نک‌ : علی بن یوسف، ۲۵؛ خنجی، ۷۷- ۷۸). در مورد تقسیم نیز روشهای ذهنی وجود داشت که یکی از آنها تبدیل تقسیم به تفریقهای متوالی بود (حاسب، همان، ۵۵).

یکی دیگر از ویژگیهای حساب هوایی این بود که محاسبات در مورد کسرها عموماً در این حساب روی کسرهای با صورت واحد، و به‌خصوص ۹ کسر اول (از یک دوم تا یک دهم) انجام می‌گرفتند و کسرهای دیگر به این ۹ کسر تبدیل می‌شدند. ظاهراً ترجیح کسرهایی با صورت واحد بر کسرهای دیگر سنتی بسیار قدیمی است، زیرا چنان‌که گفتیم، حتى در اصول اقلیدس هم قواعد مربوط به کسرهایی با صورت واحد پیش از قواعد مربوط به کسر در حالت کلی بیان شده‌اند، و تبدیل کسرهای دیگر به کسرهایی با صورت واحد، حتى در ریاضیات مصر باستان هم دیده می‌شود. از این گذشته، حتى ریاضی‌دان متأخری چون غیاث‌الدین کاشانی که از کاربرد کسرهایی با هر صورت و مخرج باکی ندارد، و در مفتاح الحساب خود کسر معطوف (کسری به صورت ) و مستثنا (کسرهایی به صورت ) را تعریف می‌کند (نک‌ : ص ۱۰۴)، می‌نویسد که محاسبان از محاسبات بر روی کسرها پرهیز می‌کنند و وقتی ناچار از این کار شوند، کسرهای مفرد را به کار می‌برند، اما منجمان از کسرهای معطوفی استفاده می‌کنند که مخرج آنها توانی از ۶۰ است و آنها را «دقیقه‌ها و ثانیه‌ها و ثالثه‌ها و رابعه‌ها و ... » می‌نامند (ص ۱۰۶).

محمد بن ایوب حاسب طبری نیز کسرها را به مفرد (کسرهایی به صورت ) و مضاف (کسرهایی به صورت ) و مجموع (کسرهایی به صورت ) و مقترن (کسرهایی به صورت ) و اصم (کسرهایی به صورت ، که در آن صورت و مخرج کسر نسبت به هم اول‌اند) تقسیم می‌کند (مفتاح، ۲۶). از این میان، وی برای کسرهای مفرد، یعنی کسرهایی با صورت واحد، جایگاه خاصی قائل است و «بهترین طلب کردن نسبت و بازخواندنش» را «خواندن مفرد» می‌داند (همان، ۲۷).

چنان‌که دیده می‌شود، کتابهای حساب در طبقه‌بندی کسرها روش واحدی ندارند و این اختلاف به نوع این آثار و هدف آنها برمی‌گردد. کتابهای حساب هوایی، که مفتاح المعاملات نمونه‌ای از آنها ست، چون به قصد استفادۀ پیشه‌وران و کسانی نوشته شده‌اند که به محاسبات سریع و حتی‌المقدور بدون نوشتن نیاز دارند، کسرهایی با صورت ۱ را ترجیح می‌دهند که در زبانهایی چون عربی نامهای خاص دارند؛ نیز به همین دلیل است که طبری کسرهایی با مخرج ۶۰ را، به این دلیل که ۶۰ برخلاف ۱۰ مقسومٌ‌علیه‌های بسیاری دارد، ترجیح می‌دهد و نیز همۀ اعداد میان ۱ تا ۵۹ را به صورت کسرهای مفرد یا مقترن از ۶۰ می‌نویسد که صورت همۀ آنها ۱ یا در معدودی از موارد ۲ و مخرج آنها عددی بین ۲ تا ۹ است (همان، ۳۱-۳۴). از کتاب حاسب طبری پیدا ست که استفاده از این روش به منجمان منحصر نبوده است. به نوشتۀ او، محاسبان زمان وی در تبدیل واحدهای پولی به یکدیگر، برای آسانی محاسبه، کل مبلغ مورد نظر را ۶۰ جزء فرض می‌کردند و محاسبات را با کسرهای شصت‌گانی انجام می‌دادند و آن‌گاه نتیجه را به مبلغ مطلوب تبدیل می‌کردند (همان، ۳۶). در مورد تقسیم نیز چنین می‌کردند (همان، ۵۵-۵۶).

برخی از کاربردهایی که ابن‌اکفانی (ص ٦٠) برای حساب مفتوح (هوایی) برمی‌شمارد، تقریباً با حساب معاملات (نک‌ : دنبالۀ مقاله) یکسان است، همچنین وی می‌گوید که هیچ‌یک از مردم از این‌گونه حساب بی‌نیاز نیست. بااین‌حال، قواعد حساب ذهنی عموماً در مورد اعداد کوچک (یک‌رقمی و دورقمی)، و آن هم در شرایط خاص، کاربرد دارند و این محدودیت نشان می‌دهد که این‌گونه حساب بدیلی برای حساب هندی نبوده، بلکه در کنار آن در محاسبات کوچک به کار می‌رفته است. همچنین، چون در برخی از قواعد «اختصاری» حساب هوایی از اتحادهای جبری استفاده می‌شود و این اتحادها بر تعبیر جبری قضایایی از اصول اقلیدس مبتنی است، بعید نیست که این قواعد، متأخر بر ترجمه شدن این کتاب به عربی باشد. البته این احتمال هم هست که برخی از این قواعد، به صورت بازمانده‌ای از ریاضیات بابلی در میان مردم بین‌النهرین رایج بوده، و از راه شفاهی به آثار حسابی راه یافته باشد.

در سده‌های بعدی نوشتن کتابهایی که منحصراً به حساب هوایی بپردازند، متروک شد و مطالب این بخش از حساب در کنار روشهای حساب هندی ــ که آن هم دیگر به استفاده از تخت و تراب منحصر نبود ــ در کتابهای حساب می‌آمد. مثلاً در لب الحساب علی بن یوسف محاسب (قرن ۶ ق) هریک از اعمال اصلی حسابی و نیز جذرگیری و کعب‌گیری به دو روش هوایی و «جدولی» بیان می‌شود (ص ۶-۲۱). بااین‌حال، بسیاری از قواعد حساب هوایی در مورد ضرب و تقسیم در کتابهای عمومی حساب، مانند خلاصة الحساب شیخ بهایی یافت می‌شود.

 

۵. شاخه‌های فرعی حساب

گذشته از گونه‌های اصلی حساب ــ نظریۀ اعـداد، حساب تخت و تراب و حساب هوایی ــ در آثار مربوط به طبقه‌بندی علوم، حساب به صورتهای دیگری نیز تقسیم‌بندی شده‌است که نشانۀ تحول مفهوم حساب و تنوع کاربردهای آن است. نخستین تحول وارد شدن «جبر و مقابله» در زیرشاخه‌های حساب است. هرچند خوارزمی در آغاز جبر و مقابله این علم را نوعی حساب دانسته بود (نک‌ : ص ۱۶)، دیدیم که فارابی آن را از زیرشاخه‌های حساب نمی‌داند و جزو طبقۀ جداگانه‌ای از علوم کاربردی به نام «حیل» قرار می‌دهد؛ اما ابن‌سینا «علم جمع و تفریق هندی و علم جبر» را از زیرشاخه‌های حساب می‌شمارد («اقسام الحکمة»، ۱۱۲). همو در آخر ارثماطیقی شفا (ص ۶۹) می‌نویسد که «باقی می‌ماند آنچه در کاربرد و به دست آوردن بدان نیاز است، و آن در عمل است، مانند جبر و مقابله و جمع وتفریق هندی».

قطب‌الدین شیرازی نیز در پایان ارثماطیقی درة التاج (عبارتی نزدیک به عبارت ابن‌سینا آورده است: «و آنچه از مباحث حساب باقی است مانند جمع و تفریق و ضرب و قسمت و نسبت و جذر و کعب و معاملات و جبر و مقابله و جمع و تفریق هندی و آنچه جاری مجری اینها ست چون مناسب عملیات است حواله به کتب فروع افتاد» (ص ۵۷). هرچند قطب‌الدین سخن ابن‌سینا را بسط می‌دهد، همۀ مباحثی را که او ذکر می‌کند، همچنان می‌توان بخشهایی از حساب هندی دانست.

در قرون بعدی این طبقه‌بندی گسترش می‌یابد. مثلاً ابن اکفانی (د ۷۴۹ ق)، پس از آنکه علم عدد یا ارثماطیقی را تقریباً با همان عبارات ابن‌سینا تعریف می‌کند و می‌گوید که این علم از لحاظ بی‌نیازی از غیر خود مانند مابعدالطبیعه است، زیرشاخه‌های آن (العلوم المتفرعة الیه) را به ۶دسته تقسیم می‌کند: ۱) حساب مفتوح؛ ۲) حساب تخت و میل؛ ۳) حساب جبر و مقابله؛ ۴) حساب خطأین؛ ۵) حساب دور و وصایا؛ ۶) حساب درهم و دینار (همانجا). دو زیر شاخۀ اول در واقع به معنای محدود حساب تعلق دارند، زیرا موضوع آنها بحث در بارۀ اعداد معلوم و عملیات روی آنها ست. در تعریف ابن اکفانی، در حساب مفتوح، ارقام به صورت مکتوب به کار نمی‌روند و بنا براین حساب مفتوح همان حساب هوایی است، اما در حساب تخت و میل ارقام نه‌گانۀ ۱ تا ۹ (به اضافۀ رقم صفر) به کار می‌روند. بنا بر این، تمایز این دو نوع حساب از یکدیگر به اعتبار روشهای آنها ست.

زیرشاخه‌های سوم تا ششم با تعریف حساب بر حسب غایت و غرض آن، یعنی «علم استخراج مجهولات از معلومات»، وفق دارند. اگر استخراج مجهول از معلوم با استفاده از تناسب انجام شود، آن را «حساب خطأین» می‌گویند و اگر تناسب در آن به کار نرود، «حساب جبر و مقابله» نام دارد. همچنین اگر تناسب در محاسبات به کار نرود و به نظر بیاید که در محاسبه دوری وجود دارد (و این چیزی است که معمولاً در مسائل مربوط به ارث پیش می‌آید) آن را «حساب دور و وصایا» می‌نامند. و اگر تعداد مجهولات از تعداد معلومها بیشتر باشد (یعنی مسئله منجر به حل دستگاهی از معادلات سیال شود) آن را حساب درهم و دینـار می‌گـویند (ابن اکفانی، ٦٠-٦٢؛ برای اطلاعات بیشتر، نک‌ : بیرونی، التفهیم، ۵۱، که حساب درهم و دینار را از فروع جبر و مقابله می‌داند).

در جامع العلوم فخرالدین رازی (ص ۵۴۳-۶۰۶) هرچند عنوان کلی علم حساب وجود ندارد، اما به هر یک از «علوم» زیر بابی اختصاص یافته است: ۱) حساب هند (ص ۳۸۰-۳۸۴)، ۲) حساب هوایی (ص ۳۸۵- ۳۸۸)، ۳) علم جبر و مقابله یا حساب جبر و مقابله (ص ۳۸۹-۳۹۴)، علم ارثماطیقی (ص ۳۹۵-۴۰۰)، و علم اعداد وفق (ص ۴۰۱- ۴۰۸). آنچه فخرالدین رازی «حساب هند» نام می‌دهد، همان است که ابن اکفانی «حساب تخت و میل» می‌نامد و «حساب هوایی» فخرالدین رازی همان «حساب مفتوح» ابن اکفانی است. اما «علم ارثماطیقی» همان علم عدد است و از تعریف این علم و اصول یا مسائلی که فخرالدین رازی برای آن برمی‌شمارد، پیدا ست که این علم همان علم عدد نظری است که فارابی در احصاء العلوم از آن سخن گفته است. علم اعداد وفق نیز در تقسیم‌بندی ابن اکفانی نظیری ندارد، بلکه وی بحث در اعداد متحابه و «غرائب الاوفاق» را از نتایج بحث علم حساب در خواص اعداد می‌داند (نک‌ : ص ٦٠).

ابن خلدون بی آنکه تعریفی از حساب به صورت مطلق به دست دهد، از دسته‌ای از علوم به نام «علوم عددیه» سخن می‌گوید که هر بخش از آن به‌تقریب با یکی از تعاریفی که در سطرهای پیشین دیدیم، منطبق است و به این صورت، توضیحات او تشتتی را که در تعریف حساب دیده می‌شود، تا اندازۀ زیادی رفع می‌کند. اولین این علوم «ارثماطیقی» است و موضوع آن «شناخت خواص اعداد از جهت تألیف» است. نمونه‌هایی که ابن خلدون برای تألیف ذکر می‌کند (ص ۱۱۲۶)، تقریباً با محتویات مقالات حسابی کتاب اصول اقلیدس و برخی از مطالب کتاب «مدخل حساب» نیکماخس یکسان است. ابن‌خلدون این شاخه از حساب را اولین جزو ریاضی و استوارترین آنها می‌داند و می‌گوید که بیشتر متقدمان این علم را ضمن کتابهای «تعالیم» می‌آورده‌اند و کتاب جداگانه در این باره نمی‌نوشته‌اند. وی در این مورد از ابن‌سینا نام می‌برد و پیدا ست که منظور او همان بخش ارثماطیقی شفا ست که جزو بخش ریاضی این کتاب یا همان تعالیم محسوب می‌شود. همچنین می‌گوید که متأخران به این علم نپرداخته‌اند و دلیل آن را نظری بودن این علم می‌داند، هرچند می‌گوید که برخی از ایشان چکید‌ۀ آن را در حساب آورده‌اند و در این مورد ابن بنّا را مثال می‌آورد. منظور ابن‌خلدون از متأخران نویسندگان کتابهای حساب است که غالباً به طور مستقل به نظریۀ اعداد نمی‌پرداختند، اما، چنان‌که گفتیم، بخشی از نتایج این نظریه را که در محاسبات به کار می‌آید، غالباً بدون اثبات در آثار خود می‌آوردند.

هرچند در برخی از منابع دیگر، علم عدد یا صناعت عدد به‌صورت مترادف با ارثماطیقی یا نظریۀ اعداد به کار رفته است، آنچه ابن خلدون «صناعت عدد» می‌نامد، با بخش «معلومات» در آثار حساب منطبق است. ابن خلدون صناعت عدد را از فروع علم حساب می‌شمارد و آن را صناعتی عملی می‌شمارد که کارش محاسبۀ اعداد از راه جمع و ضرب و تفریق و تقسیم است؛ چه در اعداد صحیح و چه در کسرها (نک‌ : ص ۱۱۲۷) و چه در جذور. وی این را صناعتی نوپدید (حادث) می‌داند که به دلیل نیازی که در معاملات به حساب هست پدید آمده است و می‌گوید که معمولاً کار آموزش کودکان را با آن آغازمی‌کرده‌اند.

شاید منظور ابن‌خلدون از نوپدید بودن این صناعت این باشد که در آثاری که در دوران اسلامی از یونانی ترجمه شده‌است، چیزی از نوع آن وجود ندارد؛ بر خلاف علم هندسه که ابن‌خلدون منابع یونانی این علم و ترجمه‌های عربی آن را به‌تفصیل ذکر می‌کند. وی اشاره‌ای به نوشته‌های شرقیان دراین‌باره نمی‌کند، اما ازجملۀ تألیفهای مبسوط مغربیان از کتاب الحصّار الصغیر نام می‌برد. منظور ابن‌خلدون احتمالاً کتاب البیان و التذکیر فی صنعة الغبار از ابوبکر حصار است در برابر کتاب الکامل او که اثر مفصل‌تری است (دربارۀ این ریاضی‌دان که پیش از ۵۹۰ ق/۱۱۹۴ م درگذشته است، نک‌ : کونیچ، ۱۸۸)، و تلخیص اعمال الحساب ابن بنا و شرح همو بر این کتاب که رفع الحجاب عن وجوه اعمال الحساب نام دارد. وی مانند بسیاری از مؤلفان دیگر، جبر و مقابله را فرع دیگری از حساب می‌شمارد (ص ۱۱۲۸) و پیداست که با این شیوه به تقسیم‌بندی دوبخشی کتابهای حساب نظر دارد، که در غالب آثاری که در شرق و غرب اسلامی در این موضوع نوشته شده است، یافت می‌شود (دنبالۀ مقاله).

هرچند ابن خلدون صناعت عدد را صناعتی عملی می‌شمارد، فروع دیگری که برای حساب ذکر می‌کند، در واقع کاربردهای حساب به شمار می‌آیند. یکی از این فروع حساب معاملات است که کاربرد حساب است در روابط (معاملات) مدنی، از جمله خرید و فروش و مساحت و زکوات و هر رابطۀ مدنی دیگری که پای عدد در آن به میان بیاید. از میان بخشهای حساب معاملات، بخش مربوط به اندازه‌گیری مساحات پایی نیز در علم هندسه دارد. ابن خلدون (ص ۱۱۲۸) و حاسب طبری (مفتاح ... ، مفتاح، ۱۴) این فن را جزو بخشهای حساب معاملات ذکر می‌کنند و ابن خلدون با اینکـه «فـن مساحت» را از فـروع علم هندسه می‌دانـد (نک‌ : ص ۱۱۳۳)، تعریفی از علم مساحت می‌دهد که با مباحثی که در کتابهای حساب دربارۀ محاسبۀ مساحت اشکال مختلف می‌آید، سازگار است. به این دلیل است که او محاسبۀ مساحات را هم جزو مباحث حساب معاملات می‌آورد.

هرچند ابن خلدون از میان معروف‌ترین آثار مغربیان در این علم از معاملات زهراوی و ابن سمح و ابو مسلم بن خلدون ــ از شاگردان مسلمۀ مجریطی ــ نام می‌برد (ص ۱۱۳۰)، اما چنان‌که خواهیم دید، گذشته از رساله‌های خاصی که در این موضوع نوشته شده، مطالب این شاخه از ریاضیات در مواضع مختلف از کتابهای عمومی حساب نیز پراکنده است.

حساب فرائض، که در تعریف حاسب طبری از حساب مواریث جدا شده و در کنار محاسبات مربوط به زکات قرار گرفته، در طبقه‌بندی ابن خلدون زیرشاخه‌ای از حساب معاملات است که در آن از مسائل ارث گفت‌وگو می‌شود. یکی از این مسائل این است که یکی از وراث پیش از تقسیم ارث بمیرد و سهم او میان وراث دیگر سرشکن شود (نک‌ : همانجا). چنان‌که دیدیم، ابن اکفانی بررسی این مسائل را زیرشاخۀ جداگانه‌ای از حساب می‌داند و آن را «حساب الدور و الوصایا» می‌نامد. بحث در مسائل مربوط به ارث از دیرباز جزو مباحث کتابهای جبر و حساب بوده است، مثلاً بخش مهمی از کتاب جبر خوارزمی به ایـن مـوضوع اختصاص دارد (نک‌ : ص ۶۷ بب‌ ) و ریاضی‌دانان اسلامی کتابهای مستقلی هم در این باره تألیف کرده‌اند. از جمله کرجی (ه‌ م) کتابی در «حساب دور و الوصایا» داشته که از میان رفته است. وی از این کتاب در «الفخری» یاد کرده است (ص ۳۰۸).

دسته‌ای دیگر از مسائل ارث وقتی پیش می‌آید که مجموع سهمها از کل مال بیشتر شود، یا از برخی از وراث اقرار یا انکاری دیده شود. حساب فرائض، در همۀ بخشهای آن نه تنها از قواعد علم حساب به معنی اخص (اعمال حسابی روی اعداد صحیح و کسرها و جذرگیری) بهره می‌برد، بلکه از علم جبر نیز در حل مسائل آن استفاده می‌شود: «فیدخلها من صناعة الحساب جزء کبیر من صحیحه و کسره و جذره و معلومه و مجهوله» (ابن خلدون، همانجا). چون محاسبات مربوط به ارث با قوانین مربوط به ارث در فقه درآمیخته است، ابن خلدون برخی از آثار مهمی را که در این علم بنا بر مذاهب اهل سنت نوشته شده است، نام می‌برد (ص ۱۱۳۰-۱۱۳۱).

نموداری که در صفحۀ بعد می‌آید شاخه‌های مختلف حساب را نشان می‌دهد. خط‌چینها نشانۀ تأثیر یکی از این شاخه‌ها در شاخۀ دیگری است که در طول آن نیست.

 

برخی دیگر از شاخه‌های فرعی حساب

گذشته از حساب هندی و حساب هوایی، که پیش‌تر شرح داده شد، برخی از شاخه‌های فرعی حساب نیز، به دلیل اهمیتی که در گذشته داشته‌اند و آثاری که بدانها اختصاص یافته، درخور توجه‌اند.

 

حساب عقود انامل

در این نوع حساب، با خواباندن بندهای انگشتان، اعداد بین یک تا ۰۰۰‘۱۰ را نشان می‌دادند. به احتمال زیاد حساب عقود انامل با حساب هوایی رابطه داشته و استفاده از انگشتان دست در این نوع حساب، محاسب را در به یاد نگه‌داشتن اعداد یاری می‌کرده است. هرچند در برخی از آثار عمومی حساب به این موضوع (نک‌ : بغدادی، التکملة، ۱۶۷- ۱۶۹)، پرداخته شده، اما رساله‌های مفرد در آن نسبتاً زیاد است که غالب آنها متأخرند؛ از آن جمله است: كيفيت عقد انامل شرف‌الدين علی معمایی يزدی (سدۀ ۹ ق/ ۱۵ م) (شورا، ۳۳/۴۸۱)، ايضاح الدلائل فی حساب عقد الانامل ابوالقاسم بن محمدكاظم موسوی زنجانی (د ۱۲۹۲ ق/ ۱۸۷۵ م) و حساب العقود از شيخ احمد يمنی حسينی زيدی (سدۀ ۱۳ ق/ ۱۹ م) (سپهسالار، ۴/۳۱۵)، و رساله‌ای از ملامهدی نراقی. موضوع برخی از این رساله‌ها توضیح روایاتی است که در آنها به این نوع حساب اشاره شده است. از این جمله است قاعدة فی حساب عقد انامل ملا محمد باقر مجلسی (د ۱۱۱۱ ق/ ۱۶۹۹ م) و عقود الانامل ميرزا ابراهيم حكمی زنجانی (د ۱۳۵۱ ق/ ۱۹۳۲ م).

 

 

حساب خطأین

 

 

حساب خطأین روشی است برای حل معادلات خطی مرتبۀ اول به صورت

ax+b =c

دو مقدار و را در نظر می‌گیریم و مقادیر و (خطاهای اول و دوم) را محاسبه می‌کنیم. مقدار مجهول x از یکی از دو رابطۀ زیر به دست می‌آید: اگر ، آن‌گاه

 

 

و اگر ، آن‌گاه

 

 

هرچند حساب خطأین در طبقه‌بندیهای کهن‌تر علوم، علم جـداگانه‌ای محسوب نشده (بـا این حـال، نک‌ : طاش‌کوپـری‌زاده، ۱/۳۲۷- ۳۲۸) و معمولاً در کتابهای دوبخشی حساب جزو بخش دوم می‌آید، با این حال، آثار مفرد نسبتاً زیادی در این‌باره وجود دارد. از آن جمله است: البرهان على حساب الخطأین از قسطا بن لوقای بعلبکی (ملک، ۶/۳۱۷)، اربعة متناسبة و خطأین از محمد منصور حسینی (تألیف: ۱۰۶۶ ق/۱۶۵۶ م) (مرکزی، ۱۷/ ۲۳۹-۲۴۱) و استخراج المسائل بالخطأین از حمزة بن علی معروف به سعد بیهقی ( نشریه ... ، ۱۱/۹۳۵). اثر اخیر ذیلی است که مؤلف بر شمسیة الحساب نظام نیشابوری نوشته و به بسیاری از نسخه‌های این اثر الحاق شده است (شورا، ۲۲/ ۸۹-۹۱).

 

حساب معاملات

یکی از فروع حساب است که به دلیل ارتباط آن با زندگی روزمره، بخش بزرگی از آثار حسابی به آن اختصاص یافته است. گاهی این بخش عنوان جداگانه‌ای دارد و گاه نیز مطالب مربوط به آن در جای‌جای آثار حسابی، بی هیچ عنوان یا نظم خاصی آمده است. حاسب طبری دامنۀ کاربرد حساب معاملات را با تفصیل شرح می‌دهد: داد و گرفت و خرید و فروش و تقسیم میراث و فرایضی چون زکات و اندازه‌گیری ساعات شب و روز و وقت نماز و روزه و حج و هر نوع کار دیوانی و اندازه‌گیری زمینها و نیز مسائل نادر و دشوار (مفتاح، ۳). و بغدادی این بابها را برای آن برمی‌شمارد: خرید و فروش، صرافی (تبدیل واحدهای پولی به یکدیگر)، اجاره، سود و زیان، جزیه و خراج، محاسبۀ زکوات، حساب ارزاق، پیکها، «حساب عصیر مطبوخ»، حساب تلاقی و پرسشها ( التکملة، ۲۴۷). بدین ترتیب حساب معاملات هر نوع محاسبه‌ای را که در روابط اجتماعی پیش بیاید، در بر می‌گیرد. به گفتۀ ابن خلدون در این صناعت هم از جبر استفاده می‌شود و هم از حساب معلومات، اما حاسب طبری حل کلیۀ مسائل حساب معاملات را به یافتن جزء چهارم تناسب باز می‌گرداند (همانجا).

ابن هائم نیز در المعونه همین نظر را اظهار کرده است. حساب معاملات، به این دلیل که با خرید و فروش و اجاره و مسائلی چون آن سروکار دارد، با فقه مربوط می‌شود. به همین دلیل بغدادی، که فقیهی شافعی است، در التکملة مسائلی چون «حساب عصیر مطبوخ» (ص ۲۸۳) و اخراج زکات مال برای سالهای گذشته (ص ۲۷۳) را به مذهب ابوحنیفه توضیح می‌دهد، زیرا این مسائل بنا بر مذهب او ساده‌ترند. برخی از مسائلی که بغدادی زیر عنوان «تلاقی و پرسشها» طرح می‌کند، به حل دستگاههایی از معادلات سیال منجر می‌شود و او معمولاً کوچک‌ترین ریشه‌های صحیح یا گویای این معادلات را به دست می‌دهد (نک‌ : همان، ۲۳۹، ۲۸۵).

 

۶. حساب و جبر

علم جبر در آغاز به صورت نوعی حساب عمومی به وجود آمد که عملیات اصلی حسابی ــ جمع و تفریق و ضرب و تقسیم ــ را از اعداد معلوم به کمیتهای مجهول تعمیم می‌داد. در ساختن این علم جدید، که تا مدتها روشهای برهان‌آوری خاص خود را نداشت، حساب همچون الگویی عمل می‌کرد که قواعد جبری از روی قواعد آن ساخته می‌شد. این جریان کلی، که «حسابیدن جبر» نام گرفته (نک‌ : ه‌ د، جبر) از همان کتاب جبر و مقابلۀ خوارزمی آغاز می‌شود. خوارزمی قواعد جمع و تفریق و ضرب دوجمله‌ایهای جبری، مانند

 

را بر اساس قیاس با قواعد حسابی متناظر با آنها، یعنی

 

تعریف می‌کند. جانشینان او مانند کرجی (ه‌ م) و سموأل (ه‌ م) بر اساس شباهت میان یک بسط یک عدد n رقمی در مبنای ده، که یک قسمت اعشاری m رقمی هم داشته باشد، مفهوم چند‌جمله‌ای را به صورت

ساختند و نیز به قیاس جذرگیری از اعداد قواعدی برای استخراج جذر چندجمله‌ایها پدید آوردند. همچنین، با استفاده از روابط

 

 

و با تعبیر جبریِ قضایایی از مقالۀ هشتم اصول اقلیدس، قواعدی چون

 

به دست آوردند که اساس عملیات حسابی بر روی چندجمله‌ایهاست (نک‌ : ه‌ د، جبر).

حساب چندجمله‌ایها هرچند به حوزۀ جبر تعلق دارد، اما منشأ تحولات مهمی در حساب و علوم وابسته بدان نیز شده است. یکی از این تحولات، تعمیم روشهای ریشه‌گیری از جذر و کعب به هر ریشۀ دلخواه با استفاده از ضرایب بسط (a +b)n است. محاسبۀ این ضرایب، یا همان عناصر مثلث معروف به پاسکال، دست کم از قرن ۴ ق در آثار جبردانان اسلامی ‌دیده می‌شود. ریاضی‌دانان مکتب کرجی، به‌ویژه سموأل، با استفاده از این ضرایب، شیوه‌ای را که پیش از آن در استخراج جذر رایج بود، یعنی به دست آوردن جذر اعداد غیر مربع کامل از راه برون‌یابی خطی، به توانهای بالاتر از ۲ نیز تعمیم دادند. بدین ترتیب است که استخراج ریشۀ n م جزو مطالب کتابهای پیشرفتۀ حساب درآمد (نک‌ : ه‌ د، سموأل، نیز غیاث‌الدین کاشانی).

 

پیدایش کسرهای دهگانی

تحول مهم دیگر در حساب، که آن نیز با جبر چندجمله‌ایها مربوط است، تکوین مفهوم کسرهای اعشاری و استفاده از آنها ست. تا اواسط قرن ۲۰ م گمان می‌رفت که این اعداد نخستین‌بار در ۱۵۸۵ م / ۹۹۳ ق در اثری از سیمون استوین، ریاضی‌دان هلندی قرن ۱۶ م، به کار رفته است. هرچند برخی دیگر از پژوهشگران نمونه‌هایی از کاربرد این کسرها در آثار ریاضی‌دانان قرون وسطى کشف کرده بودند، اما در ۱۹۴۸ م / ۱۳۲۸ ش، پاول لوکی وجود این کسرها و استفادۀ منظم از آنها را در مفتاح الحساب غیاث‌الدین کاشانی نشان داد. با کشف کتاب الفصول فی الحساب الهندی اقلیدسی معلوم شد که این کسرها دست‌کم ۵ قرن پیش از غیاث‌الدین کاشانی در جهان اسلام شناخته بوده است. تا این اواخر آنچه در این مسئله مهم به‌نظر می‌آمد، این بود که فضل تقدم در کشف و کاربرد این کسرها با کیست؟ اما رشدی راشد در چند مقاله که در دهۀ ۱۹۷۰ م منتشر کرد، و به ویژه در مقاله‌ای به نام «استخراج ریشۀ n م و ابداع کسرهای اعشاری (قرنهای ۱۱-۱۲ م[۱])» نشان داد که پیدایش این کسرها پدیده‌ای موضعی نبوده، بلکه با تحولات جبر در مکتب کرجی (ه‌ م)، به‌ویژه با مسئلۀ استخراج ریشۀ n م ارتباط عمیق داشته است.

گام مهم در ابداع کسرهای اعشاری در رساله‌ای از سموأل به نام القوامی فی الحساب الهندی برداشته شده است. پیش از آن استخراج ریشه منحصر به ریشه‌های دوم و سوم اعداد بود. روشی هم که در مورد جذرگیری به کار می‌رفت، استفاده از رابطۀ بود که دقت خوبی نداشت. تنها راه افزودن بر دقت این بود که عددی را که می‌خواستند جذرش را بگیرند، در یک عدد مربع کامل یا در توان زوجی از ۱۰ ضرب کنند (جذر بالاصفار). هرچند با این کار دقت جذرگیری بالا می‌رفت، اما همچنان مقدار ثابتی بود و میزان دقت بستگی داشت به عدد مربع کامل یا توانی از ۱۰، که انتخاب می‌شد. به عبارت دیگر، روش جذر بالاصفار بر رابطۀ زیر مبتنی بود:

 

 

و پیدا ست که چون هنگام استفاده از این رابطه باید حاصل رادیکال دست راست را بر توانی از ۱۰ تقسیم کرد، کاربرد آن مستلزم استفاده از کسرهای اعشاری است. با این همه، استفاده از این کسرها در آثار ریاضی‌دانان پیش از سموأل، و حتى در آثاری که خود او پیش از القوامی فی الحساب الهندی نوشته‌است، به هیچ وجه نظام‌مند نبود، بلکه شهودی که ریاضی‌دانان از این کسرها داشتند، تحت‌الشعاع ملاحظات عملی قرار می‌گرفت (راشد، «میان حساب[۲] ... »، ١٢٢). بدین سبب، غالباً نتیجه‌ای را که بر حسب کسرهای اعشاری به دست آورده بودند، بلافاصله به کسرهای شصت‌گانی یا به مخلوطی از کسرهای اعشاری و متعارفی تبدیل می‌کردند. حتى خود سموأل در اثری به نام التبصرة فی علم الحساب، جذر ۰۲۰‘۱ را با استفاده از روش جذر بالاصفار به صورت

 

به دست می‌آورد و سپس آن را به صورت

 

 

«ساده» می‌کند (همانجا). در واقع سموأل در این کار، حاصل جذرگیری را به صورت

می‌نویسد و آن‌گاه بخش اعشاری آن را به صورت مجموعی از کسرهای ساده با مخرجهای کمتر یا مساوی با ۱۰ و حاصل ضرب این کسرها درمی‌آورد. به این ترتیب، هرچند آشنایی با مفهوم کلی کسر اعشاری در کار سموأل دیده می‌شود، در این مرحله او نیز، مانند بسیاری از ریاضی‌دانان دیگر، به دلیل عادات محاسباتی و زبانی، این کسرها را به کسرهای آشناتر تبدیل می‌کند.

اما در القوامی فی الحساب الهندی، که در ۵۶۸ ق / ۱۱۷۳ م، دو سال پیش از مرگ سموأل نوشته شده است، وی مفهوم کسر اعشاری را به کلی‌ترین صورت مطرح می‌کند. وی به قرینۀ توانهای متوالی اعداد که از واحد شروع می‌شود، در جهت دیگر نیز توانهای متوالی «اجزاء» را که با یکدیگر همان نسبت را دارند، در نظر می‌گیرد. به عبارت دیگر، وی در برابر رشتۀ

رشتۀ دیگری به صورت

در نظر می‌گیرد (عدد ۱ واسطۀ میان دو رشته است). البته روش سموأل استفاده از جدول است، با این حال، مفهوم اجزاء ۱۰ به صورت توانهای منفی ۱۰ به‌روشنی در کار او دیده می‌شود. سموأل اعضای این رشتۀ اخیر را «اجزاء ده‌گان» و «اجزاء صدگان» و «اجزاء هزارگان» نام می‌دهد و تصریح می‌کند که این تقسیم را تا آنجا که بخواهیم، می‌توانیم ادامه دهیم. میان این اجزاء روابطی از همان نوع که میان توانهای مثبت ۱۰ وجود دارد، برقرار است. مثلاً

 

 

به این ترتیب، مفهوم ارزش مکانی، که عنصر اصلی حساب است، به اعداد اعشاری نیز تعمیم می‌یابد.

۱. »« ۲. ...

ابداع سموأل تأثیر بسیار عظیمی بر محاسبات حسابی داشت. پیش از آن، چنان‌که گفتیم، تنها دستگاه منسجمی که از کسرها وجود داشت، کسرهای شصت‌گانی بود، اما منجمان کار با این کسرها را تا جایی ادامه می‌دادند که اهداف علمی ایشان ایجاب می‌کرد. اما سموأل مفهوم کسر اعشاری را به دقیق‌ترین صورت

تعریف می‌کند. وی ریشۀ n م هر عدد را به صورت حد دنباله‌ای از اعداد گویا تعریف می‌کند که تفاوت هر جملۀ آن با ریشۀ مـورد نظر کمتـر از جملـۀ پیشین است (نک‌ : همان، ٩٩). هدف او این است که این تفاوت را هرقدر که می‌خواهد کوچک کند. در استخراج جذر، او نه مانند بیشتر محاسبان، به استخراج جزء صحیح و آن‌گاه افزودن یا کاستن مقداری کسری از آن اکتفا می‌کند، و نه به روش «جذر بالاصفار» دقت محاسبه را تا حد معین، و در عین حال ثابتی، بالا می‌برد؛ بلکه با استفاده از مفهوم کلی کسر اعشاری که در سطرهای پیشین بیان شد، وی در استخراج جذر در جایی متوقف نمی‌شود و کار ریشه‌گیری را تا هر جا که بخواهد، ادامه می‌دهد. روشی که او به کار می‌برد، حالت خاصی از روشی است که دو ریاضی‌دان قرن ۱۹ م به نامهای روفینی و هورنر ابداع کردند و تقریباً دو قرن و نیم پس از او هم در مفتاح الحساب غیاث‌الدین کاشانی به‌کار رفته است.

در آثار متعارف حسابی دوران اسلامی تأثیر جبر عمدتاً به ۳ صورت دیده می‌شود. یکی تعریفی است که این آثار از حساب به دست می‌دهند. چنان‌که گفتیم، تعریف حساب به عنوان «علم به دست آوردن مجهولات»، که در برخی از آثار حسابی یافت می‌شود، تحت تأثیر جبر پدید آمده است. گرایش به مفهومی کلی از محاسبه که جبر و حساب شاخه‌هایی از آن باشند، از همان نخستین سطرهای کتاب جبر و مقابلۀ خوارزمی دیده می‌شود (دربارۀ تأثیر دوم که تقسیم دوبخشی بسیاری از کتابهای حساب است، نک‌ : دنبالۀ مقاله).

 

۷. ساختار کلی کتابهای حساب

آثاری که در دوران اسلامی دربارۀ حساب نوشته شده، از پرشمارترین کتابهای علمی است و از این نظر به هیچ وجه با آثار ریاضی دیگر، مانند هندسه و نورشناسی، قابل مقایسه نیست. شمار کتابهای هیئت نیز، هرچند کم نیست، اما به پای شمار کتابهای حساب نمی‌رسد. از لحاظ زمانی نیز نگارش این آثار از قرن ۳ تا قرن ۱۴ ق / ۹ تا ۲۰ م ادامه داشته است. شمار زیاد این آثار و تنوع مطالب آنها دسته‌بندی‌شان را دشوار می‌کند، به‌ویژه که بسیاری از این آثار هنوز به چاپ نرسیده‌اند و حتى مورد تحقیق علمی قرارنگرفته‌اند. با این حال، بر پایۀ آثار چاپ شده و کتاب‌شناسیهای موجود می‌توان سیر تحول این آثار را تا اندازه‌ای معلوم کرد و آنها را به‌صورت اجمالی طبقه‌بندی نمود.

یکی از علل دشواری طبقه‌بندی این آثار آن است که به‌رغم شاخه‌های گوناگونی که در متون مربوط به طبقه‌بندی علوم برای حساب برشمرده‌اند، و هر یک موضوعی خاص خود دارد، شمار آثاری که مستقلاً به یکی از این موضوعات پرداخته باشند، چندان زیاد نیست و به مرور زمان کمتر هم می‌شود. مطالب بیشتر آثار حسابی، به‌ویژه آثار حسابی متأخر، آمیزه‌ای است از آنچه در طبقه‌بندیهای علوم زیر عنوان علوم خاص آمده است، مانند حساب هندی، حساب هوایی، حساب جبر و مقابله، علم مساحت، حساب فرائض و حساب معاملات. استثناء مهم در این میان حساب فرائض است که شمار آثار مستقلی که در آن نوشته‌شده، چشمگیر است. با همۀ این ملاحظات، آثار حسابی بازمانده از دوران اسلامی را می‌توان بدین صورت طبقه‌بندی کرد:

 

یکم) آثار حسابی محض

منظور از این آثار کتابهایی است که تنها به بیان اعمال حسابی، یعنی چهار عمل اصلی و نیز استخراج جذر، و گاه کعب، در مورد اعداد صحیح و کسرها می‌پردازند. بسیاری از آثار کهن حساب که به نوعی عبارت حساب الهند در عنوان آنها دیده می‌شود، به این دسته تعلق دارند؛ از آن جمله است: کتاب حساب الهند خوارزمی (در مورد محتویات این کتاب، نک‌ : فولکرتس، ۱۶۹-۱۸۰؛ نیز ه‌ د، خوارزمی)، کتاب الفصول فی الحساب الهندی اقلیدسی (نک‌ : سراسر کتاب)، کتاب اصول حساب الهند کوشیار گیلی (نک‌ : سراسر کتاب)، و شمارنامۀ محمد بن ایوب حاسب طبری. این دسته از آثار خود به دو زیرگروه تقسیم می‌شود:

الف ـ آثاری که اعمال حسابی را تنها در دستگاه ده‌گانی شرح می‌دهند. شمار این آثار چندان زیاد نیست؛ با این حال بعضی از رایج‌ترین آثار حسابی مانند خلاصة الحساب شیخ بهایی (ه‌ م)، در شرق اسلامی، و تلخیص اعمال الحساب ابن بنا و شرح همو بر آن به نام رفع الحجاب عن وجوه اعمال الحساب، در غرب اسلامی، به این شیوه نوشته شده‌اند.

ب ـ آثـاری که در کنـار بخشی راجع بـه اعمـال حسابی در دستگاه ده‌گانی (که غالباً حساب هندی نامیده می‌شود)، بخشی نیز دربارۀ همان اعمال در دستگاه شصت‌گانی (که حساب الدرج و الدقائق یا حساب المنجمین یا حساب التنجیم نامیده می‌شود) دارند. کتاب حساب الهند خوارزمی و آثار اقلیدسی و کوشیار به دستۀ اخیر تعلق دارند. در دورانهای متأخر نیز آثاری چون رسالة فی حساب التسع چغمینی (د پیش از ۶۱۸ ق/۱۲۲۱ م) (مرعشی، ۲۵/ ۲۰۸-۲۱۰) و جوامع الحساب بالتخت و التراب خواجه نصیرالدین طوسی از این دسته‌اند. همچنین الرسالة المحمدیۀ قوشچی هم فصلی در این باره دارد (همانجا).

برخی از آثاری که به این دسته تعلق دارند، تنها چهار عمل اصلی بر روی اعداد صحیح و کسرها را توضیح می‌دهند و حتى وارد بحث در شیوۀ استخراج جذر نمی‌شوند. از این جمله می‌توان از الحساب سبط ماردينی (د ۹۰۷ ق / ۱۵۰۱ م) (همو، ۳۴ / ۷۳۴) و اللباب فی علم الحساب از همو (همو، ۱۰ / ۲۹۰) و نیز نزهة الحُسّاب ابن هائم مقدسی (د ۸۱۵ ق / ۱۴۱۲ م) نام برد.

در دورانهای متأخر، به برخی از این آثار فصلی جداگانه دربارۀ مساحت نیز افزوده شده است. این بخش شامل روابطی است برای محیط و مساحت شکلهایی چون مربع، مربع مستطیل، معیّن (لوزی)، شبه معین (چهارضلعی‌ای که اضلاع مجاورش با هم مساوی‌اند)، منحرف (ذوزنقه و چهارضلعی غیر مشخص)، چندضلعیها، دایره و نیز بیضی یا اِهلیلَجی (شکلی محدب که از تقاطع دو کمان دایره حاصل شود که هر یک کوچک‌تر از نصف دایره باشد) و نیز حجم شکلهایی چون مکعب، مکعب مستطیل، کره و مخروط. از این گروه می‌توان از میزان الحساب ملا علی قوشچی (د ۸۷۹ ق/۱۴۷۴ م) نام برد که هرچند به سیاق کتاب شمسیة الحساب نظام‌الدین نیشابوری نوشته شده، و حتى در مواردی ترجمۀ آن است، بر خلاف شمسیه فاقد بخش راجع به جبر و مقابله است و بنابراین، در دستۀ کتابهای حساب محض جای می‌گیرد. فرمولهایی که در این مبحث برای سطح و حجم اشکال می‌آید، گاه دقیق و گاه تقریبی است، اما حتى فرمولهای دقیق، هرچند مبتنی بر قضایایی از اصول اقلیدس است، هیچ‌گاه با اثبات همراه نیست. همچنین برخی از آثار حسابی، یا کتابهای جداگانه‌ای که دربارۀ مساحت نوشته شده، شامل نکاتی دربارۀ واحدهای انـدازه‌گیری سطـح اسـت (نک‌ : بغـدادی، الایضاح، ۱۱؛ غیاث‌الدین، ۱۰۵-۱۰۶).

گـرچه برخی از آثار این دسته ــ مانند نزهة الحساب ابن‌هائم مقدسی ــ فصلی را به پیدا کردن جزء چهارم تناسب (اعمال متناسبه) اختصاص داده‌اند ( فهرست نسخه‌های خطی مرکز،۱/ ۲۵۹)، و برخی دیگر از آنها گذشته از یافتن جزء چهارم تناسب، فصلی نیز دربارۀ حساب خطأین دارند، اما ویژگی اصلی این آثار خالی بودن آنها از مطالبی است که به جبر مربوط می‌شود.

 

دوم) آثار دو بخشی

منظور از این آثار کتابها یا رسائلی است که به دو بخش تقسیم می‌شوند، یک بخش تقریباً همان مطالبی است که در کتابهای حساب محض یافت می‌شود و بخش دیگر به حساب مجهولات می‌پردازد. این بخش دوم معمولاً شامل پیدا کردن جزء چهارم تناسب، حساب خطأین و حل معادلات جبری است. برخی از این آثار صراحتاً به این دو بخش تقسیم شده‌اند، اما در برخی دیگر این سه مطلب زیر عناوین جداگانه آمده است. در بیشتر آثار حسابی این بخش کوتاه‌تر از بخش اول است و از لحاظ محتوا نیز آنچه از علم جبر در آن ذکر می‌شود، حل معادلات شش‌گانۀ خوارزمی است. حتى در اثری چون مفتاح الحساب، با اینکه غیاث‌الدین کاشانی مدعی شده که راهی برای طبقه‌بندی و حل معادلات تا درجۀ چهارم یافته است، آنچه از جبر آمده است، همان معادلات شش‌گانه است. در پاره‌ای از این آثار برخی از روابط سادۀ میان توانهای مجهول که پیش‌تر یاد شد نیز وجود دارد، هرچند کمتر به کاربرد‌آنها اشاره شده است (خلاصة الحساب). ‌در برخی از آثاری که این‌گونه ساختمانی دارند، مانند الرسالة المحمدیه از ملاعلی قوشچی (مرعشی، ۲۵/ ۲۰۸-۲۱۰) و عیون الحساب ملامحمدباقر یزدی ( فهرست نسخه‌های خطی مرکز احیاء ... ، ۵/۲۵۶- ۲۵۸)، بخشی نیز دربارۀ مساحت وجود دارد.

از لحاظ اجمال و تفصیل و نوع پرداختن به مطالب نیز تفاوتهای بسیاری میان این آثار وجود دارد. آثار مربوط به حساب تخت و تراب عموماً مجموعه‌ای از قواعدند و کمتر در آنها مباحث نظری دیده می‌شود. از این‌گونه آثار می‌توان از حساب الهند خوارزمی (بنا به تحریرها یا ترجمه‌های لاتینی آن)، اصول حساب الهند کوشیار، و المقنع فی الحساب الهندی نسوی نام برد. التکملۀ بغدادی از نخستین آثار شناخته شده‌ای است که از این دایرۀ محدود فراتر می‌رود و از لحاظ نوع مطالب و ترکیب آنها، می‌توان آن را پیش‌درآمد کتابهای دائرة‌المعارف‌گونۀ حساب دانست، که آثاری چون لب الحساب علی بن یوسف محاسب، عیون الحساب کاشانی، اثر مجهول المؤلف تبریز، المعونۀ ابن هائم مقدسی و عیون الحساب محمدباقر یزدی را شامل می‌شود. آثار اخیر، همۀ مطالب نظری و عملی را که به کار محاسبان می‌آید، و مباحثی را که در طبقه‌بندیها به عنوان علوم جداگانه ذکر شده‌اند، در بر دارند و عموماً هر مبحث با مثالهای متعدد همراه است.

 

۸. برخی از مهم‌ترین آثار حسابی متأخر

در بخشهای پیشین این مقاله دربارۀ آثار مهم حسابی تا قرن ۷ ق / ۱۳ م سخن گفتیم. چون تعداد نسخ بسیاری از این آثار کم است، نمی‌توان دربارۀ میزان رواج و نفوذ آنها داوری قطعی کرد. تنها پس از قرن ۷ ق است که آثاری عمدتاً از نوع حساب دوبخشی، یعنی آثاری مشتمل بر حساب و جبر و مقابله، پدید می‌آیند که به دلیل فراوانی نسخ موجود و نیز شروحی که بر آنها نوشته شده است، می‌توان گفت که در این دوران، علم حساب منزلتی دیگر یافته، و جزو برنامۀ درسی حوزه‌های علمیه شده بوده است. یکی از دلایل این نظر آن است که هرچند در میان مؤلفان این آثار، ریاضی‌دانان حرفه‌ای مانند کمال‌الدین فارسی و غیاث‌الدین جمشید کاشانی و محمدباقر یزدی هم دیده می‌شوند، اما بیشتر آنها نوشتۀ کسانی است که در وهلۀ اول فقیه یا متکلم بوده‌اند. برخی از این آثار از این قرار است:

الفوائد البهائیة فی القواعد الحسابیة، از عمادالدین ابن خوام (۶۴۳- ۷۲۸ ق / ۱۲۴۵- ۱۳۲۸ م). این کتاب در یک مقدمه و ۵ مقاله است در قواعد حساب، معاملات، مساحت، جبر و مقابله و استخراج مسائل (سپهسالار، ۵ / ۳۸۰-۳۸۲).

الرسالة الشمسية فی الاصول الحسابية، از نظام‌الدين حسن بن محمد قمی نيشابوری، معروف به نظام اعرج، متکلم قرن ۸ ق (د ۷۲۸ ق / ۱۳۲۸ م). این اثر که به شمسیة الحساب نیز معروف است، تقریباً تمام مباحث حساب را در بر دارد. کتاب شامل يك مقدمه در تعریف عدد و اقسام آن، و دو فن است. فن اول در اصول حساب شامل دو باب است. باب اول در چهار عمل اصلی (و نیز تضعیف و تنصیف) بر روی اعداد صحیح است و باب دوم همین عملیات را در مورد کسرها شرح می‌دهد. فن دوم، در فروع حساب شامل ۴ باب است که موضوع آنها استخراج جذر، حساب کسر به روش اصحاب تنجیم، مساحت و جبر و مقابله است (شورا، ۲۲ / ۸۹-۹۱). به اعتبار باب دربارۀ جبر و مقابله، این اثر را می‌توان جزو کتابهای دوبخشی حساب دانست. این اثر را عبدالعلی بیرجندی (د ۹۳۴ ق / ۱۵۲۸ م) در ۹۲۴ ق به صورت مزجی شرح کرده، و با براهین هندسی و حسابی، مبهمات آن را توضیح داده است ( نشریه، ۵ / ۴۲۵). ابواسحاق کوبنانی نیز در نیمۀ قرن ۹ ق شرح ناتمامی بر آن نوشته است (مرکزی، ۹ / ۱۰۵۱-۱۰۵۳). همچنین شمس‌الدين محمد بن ملك جمال‌الدين ابراهيم ابن محمد طبسی ذیلی بر آن دربارۀ حساب خطأین افزوده است (همان، ۱۶ / ۴۱۳).

میزان الحساب، از ملاعلی قوشچی، به فارسی، که مدتها پیش از نوشته شدن خلاصة الحساب شیخ بهایی رایج‌ترین کتاب درسی بوده و بارها به چاپ رسیده، بر اساس شمسیة الحساب نوشته شده است، هرچند با آن تفاوتهایی دارد (دربارۀ این تفاوتها، نک‌ : شورا، ۲۲ / ۱۷۷-۱۷۹). این کتاب را ملک محمد بن سلطان حسین اصفهانی شرح کرده است ( نشریه، ۵ / ۴۱۳). همو کتابی به نام الرسالة المحمدیه به عربی دارد که جامع‌تر از میزان الحساب است (مرعشی، ۲۵ / ۲۰۸-۲۱۰). این کتاب به گفتۀ طاش‌کوپری‌زاده (۱ / ۳۲۷) از کتابهای رایج در این زمینه بوده است.

مفتاح الحساب، از غیاث‌الدین کاشانی، یکی از مهم‌ترین آثار حسابی دوران اسلامی است که از لحاظ سطح مطالب آن بر بیشتر آثار دیگر برتری دارد. برخلاف آثار عمومی‌تر که غالباً به بیان یکی دو روش برای ضرب و تقسیم اکتفا می‌کنند و از ریشه‌ها نیز تنها به دست آوردن جذر و گاهی کعب را توضیح می‌دهند، در مفتاح الحساب، روشهای مختلف برای ضرب و تقسیم بیان شده، و دربارۀ استخراج ریشۀ n م به‌تفصیل بحث شده است (در این باره، نک‌ : ه‌ د، غیاث‌الدین کاشانی).

خلاصة الحساب، از شیخ بهایی که در ۴ قرن اخیر پرنفوذترین متن حساب بوده است. ایجاز این اثر، که جزو کتابهای دوبخشی است، آن را به صورت متن درسی حوزه‌ها درآورده، و فرصتی برای شارحان فراهم نموده است تا مبهمات آن را توضیح دهند. این شرحها، که شمار آنها به دهها می‌رسد، همه به یک اندازه مقبول نبوده‌اند و از میان آنها شرح عربی فاضل جواد، و شرح فارسی فرهاد میرزا معتمدالدوله، که کنز الحساب نام دارد، رواج بیشتری داشته‌اند. شرحْ نوشتن بر این اثر حتى پس از تأسیس مدارس جدید و ورود روشهای تازه در آموزش حساب در ایران ادامه داشت. آخرین شرح چاپ شدۀ آن کتـابی است بـه نـام اللباب که درست در آغاز قرن ۱۵ ق ــ در ۱۴۰۰ ق / ۱۹۸۰ م ــ نوشته و منتشر شده است (ذهنی تهرانی، سراسر کتاب).

در غرب اسلامی نیز تلخیص اعمال الحساب ابن‌بنا و شرحهای آن، و از جمله شرح قلصادی و سایر آثار قلصادی تا این اواخر کتاب درسی بود و کشف الاسرار عن علم حروف الغبار او تا دهۀ ۲ قرن ۲۰ م برای آموزش ریاضیات به کار می‌رفت (مارین، ٢٩٦).

۹. انتقال حساب هندی به غرب: تقریباً همۀ مورخان اذعان دارند که حساب هندی از راه ترجمۀ متون عربی به غرب انتقال‌یافته‌است. حساب هندی، چنان‌که پیش‌تر یاد شد، بر پایۀ استفاده از ارقام ۱ تا ۹ (با صفر) و نیز مفهوم ارزش مکانی و عملیات به کمک تخت و تراب است. در اینکه عملیات به کمک تخت و تراب را غربیان از مسلمانان فرا گرفته‌اند، تردیدی نیست، اما برخی از مورخان در اینکه آیا ارقام امروزی که در زبانهای اروپایی به کار می‌رود (و تقریباً در همۀ این زبانها به ارقام عربی معروف است)، از راه اسپانیای اسلامی به اروپای مسیحی راه یافته باشد، تردید دارند. فرانتز ووپکه، مورخ بزرگ آلمانی، که پژوهشهایش در تاریخ ریاضیات اسلامی فصل جدیدی در این حوزه گشود، در ۳ مقاله که در ۱۸۶۳ م / ۱۲۸۰ ق منتشر کرد، مدعی شد که اروپاییان پیش از فتح اسپانیا به دست مسلمانان با ارقام هندی آشنا بوده‌اند (نک‌ : سراسر مقاله). بعدها این ادعا را سولومون گاندز[۱] نیز، بیشتر بر اساس استدلالهای زبان‌شناختی تأیید کرد (نک‌ : سراسر مقاله).

 

استدلال اصلی ووپکه این بود که ارقام هندی در نسخه‌هایی از رسالۀ «هندسۀ» بوئسیوس، فیلسوف لاتینی‌زبان قرن ۶ م، وجود دارد. با این حال، چون این نسخه‌ها از قرن دهم به بعدند، حتى خود ووپکه هم این احتمال را که ممکن است این بخش از هندسه از بوئسیوس نباشد، نفی نمی‌کند. از سوی دیگر، احتمال اینکه این ارقام به روم شرقی انتقال یافته باشند، بسیار کم است، زیرا در نسخه‌های خطی بیزانسی که از قرن ۱۵ م باقی مانده، ارقام هندی «ارقام فارسی» (αριθμοι Περσικοι) خوانده شده‌اند (روسکا، ۴۵)، و این نشان می‌دهد که آشنایی بیزانسیان با این ارقام نه از راه متون هندی عربی، بلکه از راه متون فارسی‌ای بوده که از قرن ۱۴ م به بعد به یونانی بیزانسی ترجمه شده است. اما هیچ سندی بر آشنایی بیزانسیان با این نوع ارقام و محاسبات مربوط به آن پیش از قرن ۱۵ م در دست نیست.

 

آنچه مسلم است این است که مردم شمال افریقا از اواسط قرن ۱۰ م، یعنی بیش از یک قرن پس از نوشته شدن حساب الهند خوارزمی، با ارقام هندی آشنا بوده‌اند و حتى یکی از علمای یهودی قیروان در ۳۴۴- ۳۴۵ ق / ۹۵۵-۹۵۶ م، نوشته که کتابی به نام حساب الغبار دربارۀ حساب هندی تألیف کرده است (کونیچ، ١٩١). با این حال، نخستین اثر موجودی که شکل غربی ارقام هندی (حروف غبار) در آن دیده می‌شود، کتابی است که در ۱۲۶۵-۱۲۶۶ م / ۶۶۳-۶۶۴ ق در اسپانیا تألیف شده، و در آن شکلهای شرقی و غربی این ارقام در کنار یکدیگر به کار رفته است (همانجا)؛ بنابراین، مراحل تحول این ارقام بین قرنهای ۱۰ تا ۱۳ م در هاله‌ای از ابهام است.

با اینکه آشنایی اروپاییان با ارقام هندی به قرن ۱۰ م / ۴ ق باز می‌گردد، اما پس از قرن ۱۲ م و ترجمۀ کتاب خوارزمی به لاتینی و نوشته شدن آثاری به اقتباس از این کتاب بود که حساب هندی در اروپا رواج یافت (نک‌ : ه‌ د، خوارزمی).

 

مآخذ

آملی، محمد، نفائس الفنون، به کوشش ابوالحسن شعرانی، تهران، ۱۳۷۹ ق؛ ابن‌بنا، احمد، تلخیص اعمال الحساب، به کوشش محمد سویسی، تونس، ۱۹۶۹ م؛ همو، رفع الحجاب عن وجوه اعمال الحساب، به کوشش محمد ابلاغ، فاس، ۱۹۹۴ م؛ ابن خلدون، مقدمه، به کوشش علی عبدالواحد وافی، قاهره، بی‌تا؛ ابن‌سینا، «اقسام الحکمة»، به کوشش محسن کدیور، جاویدان خرد، تهران، ۱۳۸۷ ش، س ۵، شم‌ ۱؛ همو، اقسام علوم الاوائل، نسخۀ خطی شم‌ ۵ / ۷۱۲، کتابخانۀ مجلس شورای اسلامی شم‌ ۲؛ همو، الشفاء، ریاضیات، ارثماطیقی، به کوشش ابراهیم مدکور، قم، ۱۴۰۵ ق؛ همو، همان، سماع طبیعی، به کوشش ابراهیم مدکور، قم، ۱۴۰۵ ق؛ ابن‌ندیم، الفهرست؛ ابن هائم، احمد، مرشدة الطالب الى اسنی المطالب فی علم الحساب، به کوشش فارس بن طالب، بیروت، ۱۹۹۹ م؛ همو، المعونة الکبیر، نسخۀ خطی شم‌ ۹۶۷‘۲، سازمان اسناد و کتابخانۀ ملی جمهوری اسلامی ایران؛ اقلیدسی، احمد، الفصول فی الحساب الهندی، به کوشش احمد سلیم سعیدان، عمان، ۱۴۰۵ ق / ۱۹۸۵ م: اموی، یعیش، مراسم الانتساب فی معالم الحساب، به کوشش احمد سلیم سعیدان، حلب، ۱۹۸۱ م؛ بغدادی، عبدالقاهر، الایضاح، به کوشش علی اوجبی، تهران، ۱۳۸۸ ش: همو، التکملة فی الحساب، به کوشش احمد سلیم سعیدان، کویت، ۱۴۰۶ ق / ۱۹۸۵ م؛ بوزجانی، محمد، «المنازل السبع»، تاریخ علم الحساب العربی، به کوشش احمد سلیم سعیدان، عمان، ۱۹۷۱ م؛ بیرونی، ابوریحان، تحقیق ماللهند، به کوشش ادوارد زاخاو، لندن، ۱۸۸۷ م؛ همو، التفهیم، به کوشش جلال‌الدین همایی، تهران، ۱۳۵۱ش؛ حاسب طبری، محمد، شمارنامه، به کوشش تقی بینش، تهران، ۱۳۴۵ ش؛ همو، مفتاح المعاملات، به کوشش محمدامین ریاحی، تهران، ۱۳۴۹ ش؛ خنجی فارسی، عمر، شمس‌الحساب فخری، چ تصویری، تهران، ۱۳۸۷ ش؛ خوارزمی، الجبر و المقابلة، به کوشش علی مصطفى مشرفه و محمد مرسی احمد، قاهره، ۱۹۶۸ م؛ ذهنی تهرانی، محمدجواد، اللباب: ترجمه و شرح فارسی خلاصة الحساب شیخ بهایی، قم، ۱۴۰۰ ق؛ راشد، رشدی، «حساب ترکیبات و مابعدالطبیعه»، ترجمۀ حسین معصومی همدانی، استاد بشر: پژوهشهایی در زندگی، روزگار، فلسفه و علم خواجه نصیرالدین طوسی، به کوشش حسین معصومی همدانی و محمدجواد انواری، تهران، ۱۳۹۱ ش؛ رسائل اخوان الصفا، قم، ۱۴۰۵ ق؛ سپهسالار، فهرست؛ شورا، خطی؛ شیخ بهایی، خلاصة الحساب، چ سنگی، بی‌جا، ۱۳۱۶ ق؛ صاعد اندلسی، التعریف بطبقات الامم، به کوشش غلامرضا جمشیدنژاد اول، تهران، ۱۳۷۶ ش؛ طاش‌کوپری‌زاده، احمد، مفتاح السعادة، حیدرآباد دکن، بی‌تا؛ علی بن یوسف محاسب، لب الحسـاب، چ تصویـری، بـه کـوشش جمـال‌الـدین شیـرازیـان، تهـران، ۱۳۶۸ ش؛ غیاث‌الدین جمشید کاشانی، مفتاح الحساب، به کوشش نادر نابلسی، دمشق، ۱۳۹۷ق / ۱۹۷۷ م؛ فارابی، احصاء العلوم، به کوشش عثمان امین، قاهره، ۱۹۴۹ م؛ فخرالدین رازی، جامع العلوم، به کوشش علی آل داود، تهران، ۱۳۸۲ ش؛ فهرست نسخه‌های خطی مرکز احیاء میراث اسلامی، به کوشش احمد حسینی اشکوری، قم، ۱۳۷۷ ق؛ فهرست نسخه‌های خطی مرکز دائرةالمعارف بزرگ اسلامی، به کوشش احمد منزوی، تهران، ۱۳۷۷ ش؛ قربانی، ابوالقاسم، فارسی‌نامه، تهران، ۱۳۶۳ ش؛ قطب‌الدین شیرازی، محمود، درة التاج، به کوشش حسن مشکان طبسی، تهران، ۱۳۲۴ ش؛ قلصادی، علی، شرح تلخیص اعمال الحساب، به کوشش فارس بن طالب، بیروت، ۱۹۹۹ م؛ کرجی، محمد، البدیع فی الحساب، به کوشش عادل انبوبا، بیروت، ۱۹۶۴ م؛ همو، «الفخری فی الحساب»، تاریخ علم الجبر فی العالم العربی، به کوشش احمد سلیم سعیدان، کویت، ۱۹۸۵ م؛ همو، الکافی فی الحساب، به کوشش سامی شلهوب، حلب، ۱۴۰۶ ق / ۱۹۸۶ م؛ کندی، «فی کمیة کتب ارسطوطالیس و ما یحتاج الیه فی تحصیل الفلسفة»، رسائل الفلسفیة للکندی، به کوشش محمد عبدالهادی ابوریده، قاهره، ۱۳۶۹ ق / ۱۹۵۰ م؛ کوشیار گیلی، اصول حساب هندی، ترجمۀ محمد باقری، تهران، ۱۳۶۶ ش؛ مرعشی، خطی؛ مرکزی، خطی؛ ملک، خطی؛ نسوی، علی، المقنع فی الحساب الهندی، به کوشش محمدمهدی کاوه یزدی و رضا افخمی عقدا، تهران، ۱۳۹۱ ش؛ نشریۀ کتابخانۀ مرکزی دانشگاه تهران دربارۀ نسخه‌های خطی، به کوشش محمدتقی دانش‌پژوه و ایرج افشار، تهران، ۱۳۴۰ بب‌ ؛ نصیرالدین طوسی، «جوامع الحساب بالتخت و التراب»، به کوشش احمدسلیم سعیدان، الابحاث، بیروت، ۱۹۶۷م، ج ۲۰، شم‌ ۲ و ۳؛ نظامی عروضی، چهار مقاله، به کوشش محمد قزوینی، لیدن، ۱۹۰۹ م؛ نیکماخس، المدخل الى علم العدد، ترجمۀ ثابت بن قره، به کوشش ولهلم کوتس، بیروت، ۱۹۵۹ م؛ یعقوبی، احمد، تاریخ، ۱۸۸۳ م؛ نیز:

 

Berentjes, S.,«Das Kapitel zur Zahlentheorie in den Problemen der Philosophie von al-Hindi», Zeitschrift für Geschichte der Arabisch-islamischen Wissenschaften, Frankfort, ١٩٨٧-١٩٨٨, vol. IV; Djebbar, A., «Figurate Numbers in the Mathematical Tradition of Al-Andalus and the Maghrib», Suhayl, Barcelona, ٢٠٠٠, vol. I; Euclid, «Elements», ed. Th. Heath, The Thirteen Books of Euclid’s Elements, New York, ١٩٥٦; Folkerts, M. and P. Kunitzsch, Die Älteste Lateinische Schrift über das Indische Rechnen nach al-Hwārizmī, München, ١٩٩٧; Gandz, S., «The Origin of the Ghubar Numerals, or the Arabian Abacus and the Articuli», Isis, vol. XVI, no. ٢; GAS; Heath, Th., A History of Greek Mathematics, Oxford, ١٩٢١; Ibn al-Akfānī, Kitāb Iršād al-Qāṣid ilā Asnā al-Maqāṣid, ed. J. Witkam, Leiden, ١٩٨٩; Kunitzch, P., «A Manuscript of Abu Bakr al-Hassar’s Kitab al-Bayan», Suhayl, Barcelona, ٢٠٠٢-٢٠٠٣, vol. III; Nau, F., «La plus ancienne mention orientale des chiffres indiennes», JA, ١٩١٠, X / ٢٢٥-٢٢٧; Rashed, R., D’Al-Khwarizmi à Descartes: Etudes sur l’histoire des mathématiques classiques, Paris, ٢٠١١; id, Entre arithmétique et algebre: Recherches sur l’histoire des mathématiques arabes, Paris, ١٩٨٤; id, Les Mathématiques Infinitésimales du IXe au XIe Siècle, London, ١٩٩٣; Ruska, J., Zur ältesten arabischen Algebra und Rechenkunst, Heidelberg, ١٩١٧ (reprinted in Fuat Sezgin , Islamic Mathematics and Astronomy, Frankfurt, ١٩٩٧, vol. V); Saidan, A. S., «Arithmatic», Encycolpedia of the Histroy of Arabic Science, ed. R. Rashed, Lonodn, ١٩٩٦; Tarán, L., «Nichomachus of Gerasa», Dictionary of Scientific Biography, New York, ١٩٧٤, vol. X; Woepcke, F., «Mémoire sur la Propagation des Chiffres Indiens», JA, Paris, ١٨٦٣, vol. I (reprinted in Études sur les Mathématiques arabo-islamiques, Frankfort, ١٩٨٦.

 

. حسین معصومی همدانی