دائرة المعارف بزرگ اسلامی - مرکز دائرة المعارف بزرگ اسلامی - الصفحة ٢٠٨ - توازی، اصل
توازی، اصل
نویسنده (ها) :
محمد حسین احمدی
آخرین بروز رسانی :
شنبه ٤ آبان ١٣٩٨
تاریخچه مقاله
تَوازی، اَصْل، اصل پنجم از اصول موضوع یا مصادرات هندسۀ اقلیدسی که امروزه آن را به صورتی که به نام پلیفر (١٧٤٨-١٨١٩م/ ١١٦١-١٢٣٤ق) معروف شده است، میشناسیم: «از نقطهای مفروض [در خارج یک خط] میتوان یک خط و تنها یک خط به موازات آن رسم کرد» (گرینبرگ، ١٦-١٧).
اقلیـدس (ه م) در مقالۀ نخست اصول، فهرستی از پیش ـ فرضهای بنیادین هندسۀ خود متشکل از تعاریف، اصول متعارف و اصول موضوع (مصادرات) آورده است که مناقشه انگیزترین آنها اصل پنجم است که در آن چنین میگوید: «اگر خط راستی دو خط راست دیگر را چنان قطع کند که در یک سو زاویههایی داخلی با مجموع کمتر از دو قائمه پدید آورد، اگر آن دو خط به مقدار نامعلومی امتداد داده شوند، در همان سو با هم برخورد میکنند» (هیث، I/ ١٥٥).
نکتۀ اصلی اینجا ست که اقلیدس از این اصل تا پیش از قضیۀ٢٩ از کتاب نخست اصول، بهرغم امکان ساده سازی اثبات قضایای پیش از آن، استفاده نکرده که این امر به نظر برخی حاکی از عدم تمایل او برای اصل قرار دادن آن است (همو، ١١٩؛ هوخندایک، ٢٥٢)؛ ولی به این منظور او ناچار میبود، آن را با استفاده از مقدمات دیگر و ٢٨ قضیۀ نخست ثابت کند. این آرمانی است که بسیاری از هندسهدانان بعدی طی بیش از دو هزار سال درصدد تحقق آن برآمدند. کوششهای بسیاری برای اثبات این اصل صورت گرفت که بیشتر آنها نادرست و اغلب متضمن اثبات قضیهای همارز خود اصل پنجم بودند.
از کسانی که در سنت اسکندرانی برای تعریف یا نظریهپردازی دربارۀ اصل توازی تلاش کردند، میتوان به ارشمیدس (ه م)، پوسیدونیوس (١٣٥-٤٤قم)، بطلمیوس (ه م)، پرُکلُس (ه م)، اغانیس (که تنها از طریق آثار عربی شناخته شده است)، و سرانجام سیمپلیکیوس (اواخر سدۀ ٥ و نیمۀ نخست سدۀ ٦ م) اشاره کرد.
اصول اقلیدس از جمله آثاری است که با آغاز توجه مسلمانان به آثار یونانی ترجمه شد و از همان ابتدا شروح مختلفی به زبان عربی بر آن نوشته شد(نک : GAS,V/ ١٠٥-١٢٠). به نظر برخی «مرحلۀ عربی تاریخ اصول»، دارای متنوعترین وجوه و بیشترین خلاقیت بوده است و در مقام مقایسه، هیچ بحث زنده و خلاقی نظیر متون عربی، دربارۀ اصل توازی و دیگر مقدمات کتاب اصول، در متونی که در سدههای بعد به لاتینی نوشته شد، دیده نمیشود («زندگینامه...»، IV/ ٤٤٨).
چنان مینماید که نخستین نظریهپرداز دورۀ اسلامی در زمینۀ خطوط متوازی، عباس بن سعید جوهری (ه م) است که در روزگار مأمون (حک ١٩٨-٢١٨ق) در بغداد میزیست (قربانی، زندگینامه...، ٢١٥). او در اثر خود با عنوان اصلاح اصول اقلیدس ــ که ظاهراً بر جای نمانده ــ با ارائۀ ٦ قضیه در اثبات اصل توازی کوشیده است (نک : نصیرالدین، الرسالة...، ١٨-٢٤). پس از وی به نامهای یعقوب بن اسحاق کندی (د ح ٢٥٢ق/ ٨٦٦م)، بنوموسى و محمدبن عیسى ماهانی (د ح ٢٧٥ق) (ه مم) بر میخوریم که از تلاشهای آنها در این باره، تنها از طریق رسالهای در اثبات اصل توازی از مؤلفی ناشناس (نک : کراوزه، ٥٢٢) و اشارهای از بیرونی (ص ١٨٠-١٨٤) آگاهی داریم.
ثابت بن قره (ه م) ضمن اصلاح ترجمۀ اسحاق بن حنین از اصول که به ترجمۀ اسحاق ـ ثابت معروف است، در دو رسالۀ کوچک و با دو روش در اثبات اصل توازی کوشید. او در یکی از این دو روش از مفهوم «حرکت» در اثبات گزارۀ توازی استفاده کرد (نک : صبره، ١٢ ff.).
ابوالعباس نیریزی (ه م) شرح مفصلی از اصول اقلیدس را فراهم آورد و در اثر خود شرح اصول، روش اثبات اغانیس و برخی از نظریات سیمپلیکیوس را ذکر نمود (ص ٨، ١١٨ بب ). وی همچنین در رسالهای روش مستقل خود را بیان کرده است (نک : قربانی، ریاضیدانان...، ٨٦-٨٧؛ هوخندایک، ٢٥٢ ff.).
از کسانی چون ابوجعفر خازن، یوحنا القس و ابوعبدالله شَنّی (ه مم) هم در زمرۀ کسانی که به این مبحث پرداختهاند، یاد شده است، اما اثری از روش ایشان بر جای نمانده است (نک : ابن ندیم، ٥٠٥؛ خیام، ١٧٨؛ نصیرالدین، همان، ٣٨).
ابن هیثم (ه م) در دو اثر مستقل با عنوانهای حل شکوک کتاب اقلیدس فی الاصول و شرح معانیه و شرح مصادرات اقلیدس به مسئلۀ توازی و اثبات اصل توازی پرداخته است. وی از جمله کسانی است که از دیدگاه منطقی ـ فلسفی، برخی از اصول موضوعه (ه م) و نیز تعریف خطوط متوازی اقلیدس را نقد میکند (شرح مصادرات...، ١٦-١٧). در تعریف توازی، عمدۀ نقد او متوجه قید «نامعلوم» برای امتداد خطوط است که وی در اینجا آن را «بینهایت» تعبیر کرده است. به نظر میرسد که ابنهیثم مفاهیم اقلیدسی «نامعلوم» و «نامتعین» (نک : هیث، I/ ٢٣٤) را به «نامحدود» یا «بینهایت» تعبیر کرده است و وجود دو خط را که تا بینهایت ادامه یابند، «غیرقابل تخیل» دانسته است (دربارۀ قوۀ خیال، مثلاً نک : ابنسینا، النجاة، ٣٤٦: «تخیل، صورت را مجرد و منتزع میکند از ماده... نه از لواحق آن»؛ قس: خیام، ١٨٥). وی با به کارگیری گونهای از «حرکت» ــ که خود ویژگیهای آن را برمیشمرد ــ روشی برای «تخیل» دو خط با این وصف ارائه میکند و پس از ذکر مقدماتی نتیجه میگیرد که قول اقلیدس در تعریف دو خط متوازی نادرست است، اما با این حال، وجود دو خط متوازی ممکن و قابل تخیل است (ابن هیثم، همانجا). البته در متن، او مصادرۀ پنجم را با همان قید «امتداد بغیر نهایة» آورده است (همان، ٣١-٣٤). در برهان مبسوط او برای اثبات توازی (نک : همان، ٣٤-٤٠) از وجود یک چهارضلعی با ٣ زاویۀ قائمه و زاویۀ چهارم نامعلوم استفاده شده که امروزه به نام چهارضلعی لامبرت (د ١٧٧٧م/ ١١٩١ق) مشهور است (یوشکویچ، ١٤٩؛ روزنفلد، ١٠٤؛ گرینبرگ، ١٢٧؛ ایوز، ١٢٦). ابن هیثم در حل شکوک... یادآور شده است که این مصادره با این عبارت که دو خط متقاطع، با یک خط [دیگر]، موازی نیستند، همارز است، وی این عبارت را معادل اصل پنجم، به صورتی که در اصول اقلیدس آمده، میشمارد، جز اینکه آن را از اصل پنجم روشنتر، محسوستر و از لحاظ روانی پذیرفتنیتر میداند (ص ٢٥-٢٦)، اما این نظر او از سوی نصیرالدین طوسی انتقاد میشود (نک : الرسالة، ٥، ٧).
خیام (ه م) نیز در اثری با عنوان شرح ما اشکل من مصادرات اقلیدس به این موضوع پرداخته است. او در ابتدا ضمن معرفی اسلاف خود در این زمینه، آراء ایشان را نقد کرده، و در نهایت هیچیک را قابل جایگزینی برای اصل توازی یا اثباتکنندۀ آن ندانستـه است. به عنوان نمونه او انتقاداتی ــ اغلب فلسفی ــ را به مقدمات و مبانی برهان ابن هیثم ــ بـهویژه دربـارۀ حرکت ــ وارد میکند (ص ١٧٩-١٨٠). در ادامۀ کتاب، خیام با ارائۀ ٨ قضیه به اثبات گزارۀ توازی پرداخته است. او هم مانند ابن هیثم از یک چهار ضلعی، و این بار با فرض دو زاویۀ قائمه و دو زاویۀ نامعلوم برای آن، استفاده کرده (ص ١٨٤ بب ) که امروزه به نام چهارضلعی ساکْری (د ١٧٣٣م) معروف است (گرینبرگ، ١٢٥؛ یوشکویچ، ١٥١؛ «زندگینامه»، VII/ ٣٢٩؛ ایوز، ١٢٥-١٢٦).
حسامالدین علی بن فضلالله سالار (زنده در ٥١٣ ق) (نک : قربانی، زندگینامه، ٢٢٦) در رسالۀ کوچکی با عنوان «مقدمات لتبیین المصادرة التی ذکرها اوقلید فی صدر المقالة الاولی فیما یتعلق بالخطوط المتوازیة» با به کارگیری ٦ قضیه به اثبات گزارۀ توازی پرداخته است (ص ٢٨٥-٢٩٤) که شباهت بسیاری به برهان خیام دارد.
پس از او، علمالدین قیصر بن ابیالقاسم حنفی (د ٦٤٩ ق) است که از نقد او بر برهان سیمپلیکیوس (قس: همایی، ٢٩٩) به واسطۀ مکاتباتش با خواجه نصیرالدین طوسی اطلاع داریم (نصیرالدین طوسی، همان، ٣٦ بب ).
قاضیزادۀ رومی (ه م) برهانی از اثیرالدین ابهری (ه م) را که بیشباهت به روش سیمپلیکیوس نیست، در شرح خود بر اَشکال التأسیس شمسالدین سمرقندی (د ح ٦٧٥ ق) آورده است (نک : ص ١١٩-١٢٥). اثیرالدین ابهری تحریری از اصول با عنوان اصلاح اصول اقلیدس نیز فراهم آورده که متضمن برهان دیگر او در اثبات اصل توازی است (گ ١٧ ر ـ ٢٠ ر). این برهان دقیقاً با اثبات دیگری برای اصل توازی که ضمن تحریری از اصول اقلیدس به سال ١٥٩٤م در رم به چاپ رسیده، و اشتباهاً به نصیرالدین طوسی منتسب شده، منطبق است ( تحریر اصول...، چ ر م، ٢٨-٣٣؛ نیز نک : ه د، ٦/ ٥٨٧). این چاپ که همچنان شهرت انتساب به نصیرالدین طوسی را حفظ کرده، به جهت استناد توسط جان والیس و پس از او ساکری از شهرت بسیاری برخوردار است و از اینرو برخی این اثر را تأثیرگذارترین کتاب دورۀ اسلامی در پیدایش هندسۀ نااقلیدسی دانستهاند (روزنفلد، ١٧، ١٤٧-١٤٩؛ نیز نک : دنبالۀ مقاله).
نصیرالدین طوسی (ه م) افزون بر تحریر اصول اقلیدس که برهان او را دربارۀ توازی دربر دارد (چ سنگی، ص ١٦-٢٢)، رسالۀ مستقلی در این باب با عنوان الرسالة الشافیة عن الشک فی الخطوط المتوازیة تصنیف کرده است. او در این کتاب نخست همانند خیام، اقوال برخی پیشینیان از جمله ابن هیثم، خیام و جوهری را آورده، و نقد کرده است (نک : ص ٥-٧، نیز ٧-١٧، ١٨-٢٤) و آنگاه همین برهان را به طور مبسوط در ٨ قضیه بیان کرده است (ص ٢٦-٣٤). گرینبرگ از کار نصیرالدین طوسی به عنوان مهمترین تلاش پس از پرکلس تا جان والیس (١٧٠٣م) برای اثبات اصل توازی نام برده است (ص ١٢٣).
محییالدین مغربی (نک : ه د، ابن ابیالشکر) نیز تحریری از اصول نوشته است و دو برهان بر این قضیه در دو اثر خود آورده که مشابه روش ابن هیثم و نصیرالدین طوسی است (روزنفلد، ١٦٥-١٦٨).
ظاهراً قطبالدین شیرازی (ه م) آخرین هندسهدان مسلمان است که در این زمینه اظهار نظر کرده، و شرح روش خود را در دُرة التاج آورده است (گ ١٠٥ ر ـ ١٠٥ پ؛ قس: روزنفلد، ١٦٩ بب ).
در سدههای ٧-١٣ق/ ١٣-١٩م برخی از آثار دورۀ اسلامی دربارۀ نظریۀ خطوط موازی توسط اروپاییان اقتباس گردیده، و یا به نقد کشیده شده، و گاه تأثیرات غیرقابل انکاری بر نظریات ایشان داشته است که در ادامه برخی از شواهد آن ارائه میگردد:
ویتلو (سدۀ١٣-١٤م)، از مردم لهستان در رسالۀ «نورشناخت» خود که تحت تأثیر ابن هیثم نگاشته، و ریزنِر آن را در ١٥٧٢م در بازل به ضمیمۀ ترجمۀ لاتینی المناظر ابن هیثم به چاپ رسانده است، برهانی بر مصادرۀ پنجم با تأثیر از براهین دورۀ اسلامی آورده است، هرچند سطح بسیار پایینتری نسبت به آنها دارد (اشتاین اشنایدر، ٨٢؛ روزنفلد، ١٧٤-١٧٥). لِوی بن گرسون (د ١٣٤٤م) و آلفونسو اهل وایادولید (د ١٣٤٦م) در آثار خود که به زبان عبری است، برهانهایی همانند براهین ثابت بن قره، ابن هیثم و خیام ارائه دادهاند. آلفونسو برهان اغانیس را با عنوان برهان نیریزی نقد کرده، سپس برهان خود را به پیروی از ثابت ابن قره و ابن هیثم آورده است (همو، ١٧٥-١٧٩). مورد دیگر گریسوگونو (١٤٧٢-١٥٣٨م)، هندسهدان اهل یوگسلاوی است که در فصل ٩ از رسالهاش به خطوط متوازی پرداخته، و در آن آثار بسیاری از هندسهدانان اسلامی را آورده، و نقد کرده است (همو، ١٨٠).
در١٥٧٤م کریستف کلاویوس، کشیش یسوعی برهان تازهای بر توازی در ضمن شرح خود بر اصول اقلیدس عرضه کرد. او نام مشخصی از هندسهدانان اسلامی یاد نکرده، اما نوشته است که: «من میدانم که نظیر این برهان در برخی شروح اقلیدس به زبان عربی نیز آمده، اما هرگز فرصت خواندن آن را نداشتهام، هرچند نزد کسانی که اقلیدس را به عربی میدانستهاند، بارها شاگردی کردهام». برهان او نیز به برهان ثابت بن قره و ابن هیثم شباهت بسیار دارد؛ همچنانکه از چهارضلعی خیام نیز سود برده است (همو، ١٨١).
در آغاز سدۀ ١٧م دو اثر از پیترو کاتالدی (١٥٤٨-١٦٢٦م) دربارۀ اصول توازی منتشر شد. او در مقدمات برهان خود از گزارهای که خیام آن را به ارسطو نسبت داده، استفاده کرده است (همو، ١٨٣). جاکومو آلفونسو بورلّی (١٦٠٨-١٦٧٩م) در اثر خود، «احیاء اقلیدس» همانند ثابت بن قره و ابن هیثم از مفهوم «حرکت» بهره گرفت (همو، ١٨٣-١٨٤). ویتاله جوردانو (١٦٣٣-١٧١١م) در کتابی به ایتالیایی که آن نیز «احیاء اقلیدس» نام دارد، متعرض خیام شده، و از این طریق برهانی بر مصادرۀ پنجم ارائه کرده است (همو، ١٨٤).
جان والیس (١٦١٦-١٧٠٣م) در بخش دوم از رسالۀ خود با عنوان «برهانهای هندسی بر مصادرۀ پنجم»، ترجمۀ ادوارد پوکاک از برهان مصادرۀ پنجم مذکور در تحریر منسوب به نصیرالدین طوسی را آورده، و در بخش سوم نیز برهان مستقل خود را با پیشنهاد اصلی جایگزین کرده، و استفاده از مفهوم حرکت را با تأسی به ابن قره و ابن هیثم ارائه کرده است (همو، ١٨٥-١٨٦؛ گرینبرگ، ١٢٣-١٢٥).
جیرو لامو ساکری (١٦٦٧-١٧٣٣م) که «کشف ناخودآگاه» هندسۀ نا اقلیدسی به او نسبت داده میشود، بر این اثر والیس دست یافت و در کتاب خود با عنوان «اقلیدس عاری از هرگونه نقص» هر دو برهان منسوب به نصیرالدین طوسی و والیس را به نقد کشید و چهارضلعی خیام را با همان حالتبندیهای او ارائه کرد (روزنفلد، ١٨٦؛ گرینبرگ، ١٢٥-١٢٧؛ قس: «زندگینامه»، XII/ ٥٦: ٣ تا از این چهارضلعیها توسط خیام و نصیرالدین طوسی بررسی شده بودند) که امروزه با نام وی شناخته میشوند. پس از او یوهان هاینریش لامبرت (١٧٢٨-١٧٧٧م) اثر ساکری و مؤلفان پس از او را مستقیماً یا دستکم از طریق رسالۀ دکتری کلوگل که جامع بسیاری از براهین پیش از خود بود، به دست آورد. او هم در کارهای خود از چهارضلعیهای پیشگفته بهره برد (گرینبرگ، ١٢٧).
در سدۀ ١٩م هندسههای نااقلیدسی توسط هندسهدانانی نظیر گاوس (١٧٧٧-١٨٨٥م)، یانوش بویویی (١٨٠٢-١٨٦٠م)، و نیکلای لباچفسکی (١٧٩٢-١٨٥٦م) ابداع شدند که در همۀ آنها تمامی مقدمات اقلیدس به جز اصل توازی پذیرفته میشد و سرانجام در ١٨٦٨م بلترامی ثابت کرد که اصل توازی به وسیلۀ دیگر مقدمات و قضایای اقلیدس قابل اثبات نیست؛ از اینرو در فضای هندسۀ اقلیدسی همواره به یک اصل توازی یا اصلی همارز آن نیازمندیم (گرینبرگ، ١٨, ١٤٠-١٤٧, ١٧٨ ff.).
مآخذ
ابنسینا، النجاة، به کوشش محمدتقی دانشپژوه، تهران، ١٣٦٤ش؛
ابنندیم، الفهرست، به کوشش فلوگل، لایپزیگ، ١٨٧١-١٨٧٢م؛
ابن هیثم، حسن، حل شکوک کتاب اقلیدس فی الاصول و شرح معانیه، به کوشش فؤاد سزگین، فرانکفورت، ١٩٨٥م؛
همو، شرح مصادرات اقلیدس، به کوشش فؤاد سزگین، فرانکفورت، ٢٠٠٠م؛
اثیرالدین ابهری، مفضل، اصلاح اصول اقلیدس، نسخۀ خطی شم ٥٤٠ کتابخانۀ سپهسالار؛
بیرونی، ابوریحان، استخراج الاوتار فی الدائرة، حیدرآباد دکن، ١٣٦٧ق/ ١٩٤٨م؛
حسامالدین علی بن فضلالله سالار، «مقدمات لتبیین المصادرة التی ذکرها اوقلید فی صدر المقالة الاولی فیما یتعلق بالخطوط المتوازیة»، چ تصویری همراه خیامینامه، به کوشش جلالالدین همایی (نک : همایی)؛
خیام، «شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس»، همراه خیامینامه (نک : هم ، همایی)؛
روزنفلد، ب. ا. و ا. پ. یوشکویچ، نظریة الخطوط المتوازیة فی المصادر العربیة مابین القرنین الثالث و الثامن للهجرة، ترجمۀ سامی شلهوب و کمال نجیب عبدالرحمان، حلب، ١٤٠٩ق/ ١٩٨٩م؛
قاضیزادۀ رومی، شرح بر اشکال التأسیس سمرقندی، به کوشش محمد سویسی، تونس، ١٩٨٤م؛
قربانی، ابوالقاسم، ریاضیدانان ایرانی، تهران، ١٣٥٠ش؛
همو، زندگینامۀ ریاضیدانان دورۀ اسلامی، تهران، ١٣٦٥ش؛
قطبالدین شیرازی، محمود، درة التاج، نسخۀ خطی شم ٥٦٠ کتابخانۀ سپهسالار؛
نصیرالدین طوسی، تحریر اصول اقلیدس، چ سنگـی، تهران، ١٢٩٨ق؛
همـان، رم، ١٥٩٤م؛
همو، الرسالة الشافیة عن الشک فی الخطوط المتوازیة، حیدرآباد دکن، ١٣٥٩ق؛
نیریزی، فضل، شرح اصول اقلیدس، به کوشش هایبرگ، لایپزیگ، ١٨٩٩م؛
همایی، جلالالدین، خیامینامه، تهران، ١٣٤٦ش؛
نیز:
Dictionary of Scientific Biography, New York, ١٩٧١; GAS; Greenberg, M. J., Euclidean and non-Euclidean Geometries, San Francisco, ١٩٨٠; Heath, Th. L., The Thirteen Book of Euclid’s Elements, New York, ١٩٥٦; Hogendijk, J. P., «Al-Nayrīzī’s Own Proof of Euclid’s Parallel Postulate», Sic Itur ad Astra. Studien zur Geschichte der Mathematik und Naturwissenschaften, Wiesbaden, ٢٠٠٠; Eves, H., An Introduction to the History of Mathematics, New York, ١٩٦٩; Juschkewitsch, A. and B. A. Rosenfeld, Die Mathematik der länder des ostens im mittelalter, Berlin, ١٩٦٣; Krause, M., «Stambuler handschriften islamischer mathematiker», Quellen und Studien zur geschichte der mathematik, astronomie und physic, Frankfurt, ١٩٣٦; Sabra, A. I., «Thabit ibn Qurra on Euclid’s Parallels Postulate», Journal of the Warburg and Coutauld Institutes, London, ١٩٦٨, vol. XXXI; Steinschneider, M., Die Europäischen Übersetzungen aus dem Arabischen bis Mitte des ١٧. Jahrhunderts, Graz, ١٩٥٦.
محمدحسین احمدی