علّت استحكام و اتقان علوم رياضى و قاطعيّت آنها همين است كه استدلالات آن منحصرا برهانى است و شعر و خطابه و سفسطه و جدل را در آن راه نيست. زيرا رياضى از لحاظ مادّه داراى مبادى بسيار متين (تعاريف و علوم متعارفه) است و از لحاظ صورت هم ضروب منتج شكل اوّل يا شكل دوم را بكار مى‌برد. و اكثر اوقات صورت قياسى آن ضرب اوّل از شكل اوّل است كه اشرف ضروب از اشرف اشكال است.

پس علوم حقيقى كه تنها در پى دست يافتن به حقيقت صرف هستند جز بكار گرفتن برهان راهى ندارند. زيرا در بين صناعات پنجگانه تنها برهان است كه ما را به حقيقت رهنمون مى‌شود و مستلزم يقين حقيقى است.

در برهان گاه آدمى خود بتنهائى مى‌خواهد به حقيقتى دست يابد و اعمال فكرى و ذهنى لازم را بكار مى‌بندد، و در واقع با خود نجوى مى‌كند. و گاه براى اين است كه به ديگرى تعليم دهد و استدلال برهانى خود را در قالب قضاياى ملفوظ به ديگرى منتقل سازد و در همان راهى كه خود مى‌رود، ديگرى را هم همراه خود ببرد.

در تعريف برهان گفته شد كه «برهان قياسى است كه ...» براى اينكه قياس نسبت به اقسام پنجگانه صناعات بمنزله صورت و قالب است و بنابراين هربرهانى مسلّما در قالب قياس است. امّا چنين نيست كه هرچه در قالب قياس باشد، برهان باشد. پس قياس اعمّ است و هريك از صناعات خمس اخصّ. و به همين‌جهت در ابتداى تعريف هريك از صناعات، قياس اخذ مى‌شود. و چون ترتيب طبيعى در تعلّم مقتضى آن است كه اعمّ بر اخصّ مقدم باشد (زيرا اعمّ به عقل نزديكتر است، چنانكه اخصّ به حسّ نزديكتر است)، بحث قياس بايد مقدّم بر بحث برهان باشد. و تقديم آنچه پيش از قياس آموخته مى‌شود، از جهت تقدّم بالطّبع اجزاء است بر كلّ.

برهان دو قسم است: ١- برهان إنّ يا برهان إنّى. ٢- برهان لمّ يا برهان لمّى.

برهان إنّى آن است كه در آن از وجود معلول به علّت استدلال شود. يعنى حدّ اوسط آن موجب نسبت اكبر به اصغر در ذهن شود. مانند اينكه از علايم بيمارى به نوع بيمارى پى ببرند، يا از بالا رفتن ستون جيوه در گرماسنج (كه معلول حرارت است) به افزايش درجه حرارت آگاهى يابند.

برهان إنّ تنها علّت اجتماع دو طرف نتيجه (اصغر و اكبر) را در ذهن و تصديق بدان را بيان مى‌كند و بوسيله آن معلوم مى‌شود كه‌