[١] الظاهر أن علم الحساب عند القدماء كان له ثلاث مراتب ، وهي : ما لا يحتاج إلى أي آله ، وما يحتاج إلى آله ولا يحتاج إلى تعلم الكتابة ، وما يحتاج فوق ذلك إلى الكتابة.

فالنوع الأول وهو المسمى بالهوائي ، كان يستعمله الجهال ، لأنه يتشكل من قواعد بسيطة جدا.

والنوع الثاني فهو على قسمين الأول يسمى حساب عقود الأنامل أو جمل العقود ، والثاني يسمى حساب الميل ( چرتكه ) ، ففي حساب عقود الأنامل كانوا يستعملون الأنامل وعقودها وكيفية قبضها وبسطها لإعلام ما في ضميرهم من الأعداد لمن يكالمهم من دون أن يعلموا لغته التي يتكلم به وينسب هذا القسم إلى المصريين القدماء ، وقد ألف في هذا القسم خاصة كتبا كثيره يأتي بعضها ( العدد ٣٤ وما بعدها ) وفي القسم الثاني كانوا يستعملون آله تسمى ( چرتكه ) ـ لفظة روسيه بمعنى السبحة ـ وهي أميال متعددة محصورة رأساها بين خشبتين ، وفي كل ميل تسعة خرز ، فالميل الأول تمثل مرتبة الأحاد ، والميل الثاني العشرات والثالث المآت وهكذا ، والخرز في كل ميل تمثل أعداد تلك المرتبة.

والنوع الثالث الحساب الكتبي ، وهو أيضا على قسمين ، حروفي وهو حساب الجمل ، ورقمي ، ففي الحروفي كانوا يستعملون حروف الهجاء بدل الأرقام ، فاليونانيون واليهود كانوا يستعملون هذا النوع والحروف التسعة الأولى من حروف الهجاء كانت تمثل عندهم الأحاد ، والتسعة الثانية منها تمثل العشرات ، والتسعة الثالثة المآت ، وللألف كانوا يرجعون إلى الأول مع علامة تميز الأحاد عن آحاد الألوف ، وهكذا. ومنهم أخذ العرب فغيروا ترتيب حروفهم ( أ ب ت ث ) وجعلوها على ترتيب حروف أولئك ( أ ب ج د = A B C D ( وزادوا عليهم إن خصوا ( غ ) للألوف. أما الهنود والفرس والرومان والفيثاغورسيون من اليونان فكانوا يستعملون الأرقام بدل الحروف. فأرقام الفيثاغورسيين كانت تتشكل من نقط متعددة ، وأرقام الرومان هي ( IV – III – II - I إلخ ) وهي مأخوذة من ستة حروف ( I ,V , X , L ,C , M ) وأرقام الفرس الپهلوية مأخوذة من الحروف الآرامية وهذه شكلها ( ب ١ ، س ٢ ، س س ٥ ، و ١٠ ، ل ٢٠ وغيرها ) وفي أواخر العهد الساساني أخذوا من الهنود أرقامهم ونقلوها بعد ذلك إلى المسلمين ، ثم أوجدوا في حدود القرن