تضريس فيه و لا انخفاض، بل كان أملسا [١]، فلا بدّ و أن تلاقيه و يمنعها من الهبوط بواسطة التماس، فموضع الملاقاة إمّا أن يكون منقسما أو لا يكون، و الأوّل محال لاستلزامه تضليع الكرة الحقيقية؛ لأنّ ذلك الموضع المنقسم منطبق على السطح المستقيم و المنطبق على المستقيم مستقيم، فيكون ذلك الموضع مستقيما، ثمّ إذا حركنا الكرة على ذلك السطح و زالت الملاقاة الأولى عن ذلك الموضع و حصلت الملاقاة على موضع آخر يتلو الأوّل و يلاصقه، فذلك الموضع إمّا أن يكون منقسما أو لا يكون، فإن كان لزم أن يكون منقسما لما تقدم من انطباقه على المستوي، و هكذا إلى أن تتم الكرة الدورة فتكون مضلّعة، و هذا خلف، فبقي أن تلاقيه في كلّ حال تعرض ملاقاتها له بنقطة، ثمّ إذا زالت عن الملاقاة الأولى فإنّها لا تخرج بذلك عن الملاقاة البتة بل تكون ملاقية له و يجب أن تكون بنقطة، فتكون هناك نقط متعاقبة؛ لأنّ الملاقيات متعاقبة و إلّا لكان في بعض أزمنة حركات الكرة لا تكون مماسة لذلك السطح، هذا خلف.
و أيضا برهن اقليدس على أنّ كلّ خط مستقيم يصل بين نقطتين من الدائرة فإنّه يقع داخلها، فلو كان موضع الملاقاة منقسما لارتسم خط على ظاهر الكرة منطبقا على السطح فيقع ذلك الخط داخل الكرة و خارجها، و هو محال.
و لأنّ موضع الملاقاة إن كان منطبقا على السطح المستقيم و كان بمنقسم أمكن أن يخرج من المركز خطان ينتهيان إلى طرفي موضع الملاقاة و هما طرفا الخط الذي به [٢] تقع الملاقاة، فيصير مع الخط المرتسم من موضع الملاقاة خطوط ثلاثة محيطة بسطح، فيحصل مثلث قاعدته موضع الملاقاة، فإذا أخرجنا من مركز الدائرة إلى قاعدة المثلث الواقع في الدائرة عمودا قائما عليه كانت الزاويتان‌

[١] قال الشيخ في رسالة الحدود: «الأملس هو جرم سطحه ينقسم إلى أجزاء متساوية الوضع».
[٢] ساقطة في ق.