معرفت فلسفی - موسسه آموزشی پژوهشی امام خمینی (ره) - الصفحة ٣ - آزمون اعتبار براى منطق ربط KR

* براي مشاهده بهتر اين مقاله، نسخه pdf آن را در پايين مقاله مشاهده فرماييد.

سال نهم، شماره اول، پاييز ١٣٩٠، ٣٩ـ٧١

اسداللّه فلاحى*

چكيده

در منطق سينوى، «شرطى متّصل لزومى» مهم‌ترين قسم از اقسام شرطى به شمار مى‌آيد. نزديك‌ترين ادات شرطى به شرطى لزومى، در منطق جديد، «استلزام ربطى» است. بخشى از منطق جديد كه به «استلزام ربطى» مى‌پردازد، «منطق ربط» نام دارد. ميان منطق‌دانان ربط، نزاعى هست كه آيا پذيرش يك تناقض، مستلزم هر گزاره دلخواهى است؟ به ديگر سخن، آيا يك گزاره متناقض با هر گزاره دلخواهى مرتبط است؟ پاسخ مثبت به اين سؤال، به منطقى به نام KR و پاسخ منفى به آن به منطقى به نام R مى‌انجامد. منطق KR، نسبت به منطق R، سمانتيك ساده‌تر و شهودى‌ترى دارد. با اين حال، تعيين اعتبار و عدم اعتبار استدلال‌ها در نظام‌ها و سمانتيك‌هاى گوناگون منطق ربط (حتى در KR) كارى دشوار است كه در ادبيات منطق ربط، كمتر به آن پرداخته شده است. در اين مقاله، با الهام از يك روش ارزش‌دهى به نام «آزمون اعتبار» كه هيوز و كرسول در منطق موجّهات معرفى كرده‌اند، يك «آزمون اعتبار» براى منطق KRطرّاحى كرده و كاربرد آن را در چند مثال نشان داده‌ايم.

كليدواژه‌ها: شرطى لزومى، منطق ربط، R، KR، آزمون اعتبار.

در منطق‌هاى قديم و جديد، ادات شرطى به گونه‌هاى مختلف تقسيم شده‌اند. براى نمونه، در منطق سينوى، شرطى متّصل به دو نوع «لزومى» و «اتّفاقى» تقسيم مى‌گردد؛ متّصل اتّفاقى نيز خود به به دو قسم «اتّفاقى خاص» و «اتّفاقى عام» تفسير مى‌شود.[١] اين در حالى است كه در منطق جديد، اقسام زير براى ادات شرطى شناسايى شده است: «استلزام مادّى»، «استلزام اكيد»، «استلزام ربطى»، «استلزام استنتاجى»، «استلزام شهودى»، «شرطى خلاف واقع»، و... .[٢]

تطبيق اقسام شرطى در منطق سينوى با اقسام شرطى در منطق جديد كار چندان ساده‌اى نيست و به آگاهى دقيق از ويژگى‌هاى هريك از اقسام شرطى در هريك از اين دو منطق نيازمند است.[٣] از ميان شرطى‌هاى منطق سينوى، بى‌گمان، «متّصل لزومى» اهميت بيشترى دارد. متّصل لزومى، غير از استلزام مادّى، با شرطى‌هاى ديگر در منطق جديد قابل تطبيق است؛ از اين‌رو، با شناخت دقيق هريك از اين شرطى‌ها، امكان مقايسه و تطبيق آنها با متّصل لزومى فراهم مى‌آيد. در اين مقاله، از ميان شرطى‌هاى گوناگونى كه در منطق جديد معرفى شده است، تنها به «استلزام ربطى» و دو تفسير مهم از آن مى‌پردازيم.

مجموعه نظام‌هاى منطقى كه تفسيرهاى گوناگون از «استلزام ربطى» را صورت‌بندى مى‌كنند، با عنوان كلّى «منطق ربط»[٤] يا «منطق ربطى»[٥] شناخته مى‌شوند.[٦] ايننظام‌ها بسيارند و مهم‌ترين آنها منطق ربط Rاست كه ساير نظام‌ها در ارتباط با آن و در سايه آن شناخته مى‌شوند. نام اين نظام‌ها در منطق ربط فرعى بودن آنها را نسبت به منطق Rبه خوبى نشان مى‌دهد: CR، KR، RM، RM_٣، PWR، R⁺، R^£، R_fde، R و... .[٧] در اين مقاله، تنها به نظام KRمى‌پردازيم و با بيان تفاوت اصلى آن با منطق ربط R، روشى براى تعيين اعتبار و عدم اعتبار استدلال‌ها در KRطرّاحى مى‌كنيم.

روش‌هاى تعيين اعتبار و عدم اعتبار را «آزمون اعتبار» يا «اعتبارسنجى»[٨] مى‌نامند.براى منطق گزاره‌ها و منطق محمول‌ها، روش‌هاى گوناگونى به منظور اعتبارسنجى طرّاحى شده است كه شناخته‌شده‌ترين آنها عبارت‌اند از:[٩] استفاده از جدول‌هاى ارزش،[١٠] روش‌هاى نمودارى،[١١] صورت نرمال،[١٢] و ارزش‌دهى.[١٣]

از ميان روش‌هاى گوناگون براى «آزمون اعتبار»، روش ارزش‌دهى سريع‌ترين و ساده‌ترين روش است. لطف‌اللّه نبوى صورت بسيار ساده‌اى از اين روش را براى منطق جمله‌هاى كلاسيك در كتاب مبانى منطق جديد آورده است.[١٤] جى. اى. هيوز و ماكس كرسوِل روش ارزش‌دهى را با كام‌يابى به منطق موجّهات گسترش داده و آن را معرفى كرده‌اند.[١٥] نگارنده نيز در پايان‌نامه كارشناسى ارشد خود، معرفى اين روش را بهفارسى برگردانده است.[١٦]

از آنجا كه تا زمان نگارش اين مقاله نتوانستيم روش ارزش‌دهى را در ادبيات منطق ربط بيابيم، تلاش كرده‌ايم تا روش هيوز و كرسول را به منطق ربط گسترش دهيم. اين كار اصولاً بايد در مورد منطق ربط Rانجام گيرد؛ امّا گسترش روش ارزش‌دهى به اين منطق پيچيدگى‌هايى دارد كه پرداختن به آن را دشوار مى‌سازد. اين در حالى است كه تعميم روش هيوز و كرسول به منطق ربط KR(كه در مقدّمه معرفى كرديم) بسيار آسان‌تر است. به همين سبب، در اين مقاله، فقط از طرّاحى روش ارزش‌دهى براى منطق KR سخن مى‌گوييم و گسترش آن به منطق Rرا در مقاله ديگرى بررسى مى‌كنيم. در ادامه، نخست، معرفى كوتاهى از نظام اصل موضوعى براى منطق ربط KRو سمانتيك آن به دست مى‌دهيم؛ سپس، به آزمون اعتبارى كه براى آن طرّاحى كرده‌ايم، مى‌پردازيم.

منطق KRاز افزودن اصل موضوع «از تناقض»، B(A~A) يا شكل قاعده‌اى آن به منطق Rبه دست مى‌آيد:

درباره اصل‌موضوع و قاعده «از تناقض» سخن خواهيم گفت؛ امّا پيش از آن، بايد منطق Rرا معرفى كنيم. نبوى در كتاب مبانى منطق فلسفى نظام اصل موضوعى و دستگاه استنتاج طبيعى براى منطق Rرا به تفصيل معرفى كرده است.[١٧] ما در اينجا، براى اختصار، تنها نظام اصل موضوعى منطق Rرا معرفى مى‌كنيم:

چنان‌كه گفتيم، افزودن اصل موضوع «از تناقض» (EFQ) به منطق Rما را به منطق KRمى‌رساند:

اصول موضوعة منطق R:

چنان كه گفتيم، افزودن اصل موضوع «از تناقض»، EFQ، به منطق R ما را به منطق KR مي‌رساند:

اصل يا قاعده «از تناقض» مى‌گويد: از هر تناقض، مى‌توان گزاره دلخواه را نتيجه گرفت. اين ادّعا با شهودهاى ما سازگار نيست؛ از اين‌رو، منطق‌دانانِ ربط از پذيرش آن سر باز زده‌اند. امّا انكار اين اصل سبب شده است كه در منطق ربط R، يك اصل و قاعده بسيار شهودى به نام «قياس انفصالى» از دست برود:

همين مسئله موجب شده است كه مخالفان منطق ربط انتقادات بسيارى را به منطق R وارد سازند.[١٨] منطق‌دانان ربط پاسخ‌هاى بسيارى به اين ايرادها داده‌اند.[١٩] يكى از اين پاسخ‌ها مى‌تواند اين باشد كه اصل يا قاعده «قياس انفصالى» را به منطق Rبيفزاييم. افزودن اين قاعده سبب مى‌شود اصل يا قاعده «از تناقض» اثبات شود و منطق KRبه دست آيد. بنابراين، منطق KRمى‌تواند پاسخى باشد به انتقادات سهمگينى كه به نامعتبر بودن قياس انفصالى در منطق Rوارد شده است. درباره نقاط قوّت و ضعف اين پاسخ مى‌توان سخن گفت؛ امّا در اين مقاله، ترجيح مى‌دهيم تنها به يكى از نقاط قوّت آن اشاره كنيم: منطق KR، سمانتيك ساده‌تر و شهودى‌ترى نسبت به منطق Rدارد و آزمون اعتبار ما براى آن آسان‌تر از آزمون اعتبار منطق Rاست.

سمانتيك منطق ربط صورت‌بندى‌هاى گوناگون دارد كه در اينجا، صورت‌بندى گريم پريست و ريچارد سيلوان را ارائه مى‌كنيم كه ساده‌ترين صورت‌بندى از سمانتيك منطق ربط است. در اين صورت‌بندى، كه در سال ١٩٩٢ به دست داده شده،[٢٠] «ساختار» سه‌تايى مرتّب <W, g ,R>، و «مدل» چهارتايى مرتّب <W, g, R, V>است:

F = <W,g,R>

M = <W,g,R,V>

F ساختارى است كه از W، g و R ساخته مى‌شود: Wمجموعه جهان‌هاى ممكن (نرمال و غيرنرمال) است، g«تنها جهان نرمال» مى‌باشد و Rيك رابطه دسترس‌پذيرىِ «سه‌موضعى» روى جهان‌هاست. Mنيز مدل يا الگوست كه از افزودن تابع ارزش‌دهى V به ساختار، به دست مى‌آيد.

در اين سمانتيك، شرايط صدق ادات‌هاى «ناقض»، «عاطف»، و «فاصل»، و سورهاى كلّى و جزئى به صورت كلاسيك باقى مى‌ماند؛ امّا شرط صدق «استلزام ربطى» به صورت زير تغيير مى‌كند:

چنان‌كه ديده مى‌شود، شرط صدق «استلزام ربطى» در جهان نرمال g، دقيقا شبيه شرط صدق «استلزام اكيد» در جهان‌هاى سمانتيك منطق S٥است.[٢١]

سمانتيك KR، شرايط ساختار بسيار شبيه شرايط ساختار در سمانتيك S٥است:

بازتابى جابه‌جايى شركت‌پذيرى براى درك مفهوم شرط «تعدّى»، به دو تعريف نخست از سه تعريف زير نياز داريم:

$x(Rabx & Rxcd)تعR(ab)cd =

$x(Rbcx & Raxd)تعRa(bc)d =

$x(Rcdx & Rabx)تعRab(cd) =

تعريف سوم در ادبيات منطق ربط نيامده است و عملاً هم موردنياز نخواهد بود؛ امّا سنجش آن با دو تعريف نخست، براى درك آن دو تعريف، سودمند است. با دو تعريف نخست، شرط تعدّى به صورت زير درمى‌آيد:

^تعدّى $x(Rabx & Rxcd) = $x(Rbcx & Raxd)

چنان‌كه ديده مى‌شود، شرط «تعدّى» براى رابطه سه‌موضعى نسبت به رابطه دوموضعى بسيار پيچيده‌تر است. نام‌هاى «جابه‌جايى» و «شركت‌پذيرى» براى دو شرط «تقارن» و «تعدّى» كاملاً مفهوم هستند؛ امّا نام «تعدّى» مبهم به نظر مى‌رسد.[٢٢]

اكنون كه با شرايط رابطه دسترسى و شرط صدق ادات شرطى آشنا شديم، مى‌توانيم مفهوم فلسفى رابطه دسترسى و عبارت‌هايى مانند Rabcو R(ab)cdرا بهتر شرح دهيم.

عبارت Rabcمى‌گويد: جهان a، از طريق جهان b، به جهان cدسترسى دارد؛ ساده‌تر اينكه: a، از طريق b، c را مى‌بيند.[٢٣] اين عبارت، از ديدگاه فلسفى، به اين معناست كه جهان aبه كمك جهان b، به صورت ربطى، جهان cرا نتيجه مى‌دهد.

امّا نتيجه‌گيرى ميان جمله‌ها و گزاره‌ها معنا مى‌دهد و نه ميان جهان‌ها؛ اينكه جهانى، جهان ديگرى را نتيجه بدهد به چه معناست؟ پاسخ اين است كه مقصود از استنتاج ميان جهان‌ها، استنتاج ميان گزاره‌هاى شرطى و مقدّم آنها در آن جهان‌هاست. با اين بيان، معناى اينكه جهان aبه كمك bجهان cرا نتيجه مى‌دهد دقيقا اين است كه اگر گزاره شرطى PQدر جهان aو گزاره Pدر جهان bصادق باشد، Qدر جهان cصادق است. (اين مفهوم را مى‌توان به صورت ساده‌تر چنين كوتاه كرد: وضع مقدّم جهان aبر جهان b، جهان cرا نتيجه مى‌دهد.)

يكى از دشوارى‌ها در فهم رابطه دسترس‌پذيرى R، نشان دادن تصويرى و نمودارى آن است. چگونه مى‌توان رابطه Rabcرا نشان داد؟ در سمانتيك منطق‌هاى وجهى، رابطه دوموضعى Rabرا به سادگى، با نمودار زير، نشان مى‌دهند:

در سمانتيك منطق S٥، اين رابطه را به صورت دوسويه نيز مى‌توان نشان داد:

رابطه سه‌موضعى Rabcدر منطق KR، به دليل اينكه سه‌موضعى و متقارن است، بايد به صورت مثلثى و با فلش دوسويه در هر ضلع آن نشان داده شود:

امّا از آنجا كه ترسيم نمودار بالا كم‌وبيش دشوار است، نمودار نامتقارن ولى ساده‌تر زير را برمى‌گزينيم:

مفهوم عبارت R(ab)cdاندكى پيچيده‌تر است. اين عبارت مى‌گويد: جهان a، از طريق جهان b، به جهان xاى دسترسى دارد كه آن جهان x، از طريق جهان c، به جهان دسترسى دارد. نمودار اين رابطه چهارموضعى به صورت نزولى زير است:

اين نمودار را چنين مى‌خوانيم: a، از طريق b، xاى را نتيجه مى‌دهد كه آن x، از طريق c، dرا نتيجه مى‌دهد. معناى اين نمودار آن است كه اگر گزاره‌هاى شرطى PQو P، به ترتيب، در دو جهان aو bصادق باشند، Qدر جهان xصادق است. حال اگر خود Q يك گزاره شرطى مانند RSباشد، اين گزاره شرطى در جهان xصادق است؛ حال اگر Rدر cصادق باشد، Sدر dصادق خواهد بود. بنابراين، عبارت R(ab)cdبدين معناست كه اگر گزاره‌هاى شرطى P(RS)، P و R، به ترتيب، در سه جهان a، b و c صادق باشند، Sدر جهان dصادق است. (اين مفهوم را مى‌توان به صورت ساده‌تر چنين كوتاه كرد: وضع مقدّم جهان aبر دو جهان bو c، جهان dرا نتيجه مى‌دهد.)

مفهوم عبارت Ra(bc)dاز اين هم پيچيده‌تر است. اين عبارت، بنا به تعريف، مى‌گويد: جهان b، از طريق جهان c، به جهان xاى دسترسى دارد كه جهان aاز طريق آن جهان x، به جهان dدسترسى دارد. نمودار اين رابطه چهارموضعى به صورت صعودى زير است:

اين نمودار را چنين مى‌خوانيم: b، از طريق c، xاى را نتيجه مى‌دهد كه aاز طريق آن x، dرا نتيجه مى‌دهد. معناى اين نمودار آن است كه اگر گزاره‌هاى شرطى PQو P، به ترتيب، در دو جهان bو cصادق باشند، Qدر جهان xصادق است. حال اگر يك گزاره شرطى مانند QRدر جهان aصادق باشد، با وضع مقدّم بر Qدر x، نتيجه مى‌دهد كه Rدر dصادق است. بنابراين، عبارت Ra(bc)d بدين معناست كه اگر دو گزاره شرطى PQ، QRو گزاره P، به ترتيب، در سه جهان b، a و cصادق باشند، Rدر جهان d صادق است. (اين مفهوم را مى‌توان به صورت ساده‌تر چنين كوتاه كرد: قياس شرطى جهان bبر جهان a، جهانى را نتيجه مى‌دهد كه وضع مقدّم آن بر جهان c، جهان dرا نتيجه مى‌دهد.)

اكنون كه مفهوم Rهاى چهارموضعى را شرح داديم و نمودارهاى آنها را ترسيم كرديم، مى‌توانيم Rهاى با موضع‌هاى بيشتر را به دلخواه تعريف كنيم. براى نمونه، دو تعريف از انواع Rپنج‌موضعى را در زير مى‌آوريم:

R(ab)(cd)e =_تع $x[Rabx & Rx(cd)e] =_تع $x$y(Rabx & Rcdy & Rxye)

R((ab)c)de =_تع $x[Rabx & R(xc)de] =_تع $x$y(Rabx & Ryde & Rxcy)

نمودار اينها به صورت زير است:

در اين دو نمودار، جهان‌هاى xو yرا «جهان‌هاى وسط»، و جهان‌هاى a، b، c، d و e را «جهان‌هاى طرف» مى‌ناميم. با ادامه اين روش، مى‌توان رابطه دسترسى nرموضعى را تعريف كرد:

Ra_١a_٢…a_n = _تع$x [Ra_١a_٢x&Ra_٢a_٣… a_n] =_تع R(… ((a١a٢)a٣)… ) a_n a_n-١

«صدق» و «اعتبار» دو مفهوم سمانتيكى‌اند كه گاه به جاى يكديگر به كار مى‌روند؛ امّا بسيارى از منطق‌دانان اين دو مفهوم را از هم جدا مى‌كنند و صدق را تنها در جهان‌هاى ممكن، و اعتبار را تنها در مدل‌ها و ساختارها به كار مى‌برند. صدق در جهان‌هاى ممكن براى جمله‌نشانه‌ها و جمله‌هاى مركّب متفاوت است: صدق جمله‌نشانه‌ها از طريق تابع ارزش‌دهى تعيين مى‌شود و در يك معنا قراردادى است؛ امّا صدق فرمول‌هاى مركّب بر اساس شرايط صدق ادات‌هاى تعيين مى‌شود و قراردادى نيست. اعتبار نيز در مدل و ساختار متفاوت است: اعتبار در مدل چندين معنا دارد؛ امّا اعتبار در ساختار تنها داراى يك معناست. اعتبار در ساختار همواره به معناى اعتبار در همه مدل‌هاى آن است؛ امّا اعتبار در مدل به چه معناست؟

«اعتبار در مدل» در سمانتيك KRبراى فرمول‌هاى شرطى و غيرشرطى، و قاعده‌هاى يك، دو، سه و چندمقدّمه‌اى متفاوت است:

اعتبار قاعده‌هاى چهارمقدّمه‌اى و بالاتر را نيز مى‌توان نوشت؛ امّا به كمك تعريفn R موضعى ارائه تعريفى كلّى از آن امكان‌پذير است. البته از آنجا كه ما در عمل با قاعده‌هاى چهارمقدّمه‌اى و بالاتر سروكار نخواهيم داشت، از تعريف آن خوددارى مى‌كنيم. نكته‌اى كه توجه به آن ضرورت دارد اين است كه ادات‌هاى شرطى در تعريف اعتبار همگى «استلزام مادى» هستند و قوانين منطق كلاسيك براى آنها جارى است. توجه به اين نكته در كار با اين سمانتيك راهگشا خواهد بود.

در اين بخش، براى اعتبارسنجى فرمول‌ها و صورت‌برهان‌ها در سمانتيك منطق KR، روشى را ارائه مى‌كنيم كه برگرفته از هيوز و كرسول است.[٢٤] بنيان اين روش بر برهانخلف استوار است؛ به اين معنا كه ما همواره عدم اعتبار فرمول يا صورت‌برهان مورد نظر را فرض مى‌گيريم و تلاش مى‌كنيم به تناقض برسيم. اگر در رسيدن به تناقض كامياب بوديم، نادرستى فرض را نشان داده و اعتبار را نتيجه مى‌گيريم؛ امّا اگر نتوانيم به تناقض برسيم، تلاش مى‌كنيم يك مدل نقض براى فرمول يا صورت‌برهان مورد آزمون بيابيم. اگر چنين مدلى را يافتيم، عدم اعتبار را نتيجه مى‌گيريم؛ امّا اگر چنين مدلى يافت نشد، ديگر نمى‌توان اعتبار يا عدم اعتبار را نتيجه گرفت.

آزمون اعتبار در منطق كلاسيك به اين صورت است كه براى برهان خلف، به ادات اصلى مقدّمه‌ها ارزش١ و به ادات اصلى نتيجه‌ها ارزش ٠ مى‌دهيم و به كمك شرايط صدق، تلاش مى‌كنيم تا ارزش ادات فرعى و جمله‌نشانه‌ها را به دست آوريم. (براى آزمون فرمول‌ها، به ادات اصلى آنها ارزش ٠ مى‌دهيم.) در اينجا، مثالى ذكر مى‌كنيم كه نبوى در كتاب خود شرح داده است؛[٢٥] برآنيم تا اعتبار صورت‌برهان زير را در منطق كلاسيك بسنجيم:

در آغاز، مقدّمه‌ها را صادق فرض مى‌كنيم و نتيجه را كاذب مى‌گيريم:

بنا به جدول ارزش فاصل، كذب نتيجه مستلزم كذب طرفين آن ( Qو R) است. بنابراين، ارزش ٠ را براى همه موارد Qو Rوارد مى‌كنيم:

امّا صدق تركيب شرطى (مادّى) در مقدّمه نخست و كذب تالى آن، بنا به جدول ارزش استلزام مادّى، مستلزم كذب مقدّم آن (P) است. بنابراين، ارزش ٠ را براى همه موارد Pوارد مى‌كنيم:

امّا صدق تركيب فصلى در مقدّمه سوم و كذب مقدّم آن، بنا به جدول ارزش فاصل، مستلزم صدق تالى آن (S) است. بنابراين، ارزش ١ را براى همه موارد Sوارد مى‌كنيم:

مى‌بينيم كه با اين ارزش‌گذارى‌ها، همه ادات‌ها و جمله‌نشانه‌ها ارزش‌دهى شدند؛ بدون اينكه تناقضى پديد آيد. اين امر نشان مى‌دهد كه فرض نخستين، يعنى فرض صدق مقدّمه‌ها و كذب نتيجه، مستلزم هيچ تناقضى نيست و ممكن است مقدّمه‌ها صادق و نتيجه كاذب باشند؛ بنابراين، صورت‌برهان بالا نامعتبر است. در صورت عدم اعتبار، مى‌توان مثال نقض يا مدل نقض ارائه كرد. براى اين كار، ارزش جمله‌نشانه‌ها را از آزمون به پايان رسيده گردهم آورده و جداگانه مى‌نويسيم:

اين مدل نقض، سطرى از جدول ارزش را نشان مى‌دهد كه در آن، مقدّمه‌هاى صورت‌برهان بالا صادق‌اند و نتيجه آن كاذب است.

اكنون، براى صورت‌برهان معتبر در منطق كلاسيك، مثالى مى‌آوريم و آن را مى‌آزماييم:

در آغاز، مقدّمه‌ها را صادق فرض مى‌كنيم و نتيجه را كاذب مى‌گيريم:

بنابه جدول ارزش فاصل، كذب نتيجه مستلزم كذب طرفين آن ( Qو S) است. بنابراين، ارزش ٠ را براى اين دو متغيّر وارد مى‌كنيم:

امّا صدق تركيب شرطى (مادّى) در دو مقدّمه نخست و كذب تالى آنها، بنا به جدول ارزش استلزام مادّى، مستلزم كذب مقدّم آنها ( Pو R) است. بنابراين، ارزش ٠را براى Pو Rوارد مى‌كنيم:

امّا صدق تركيب فصلى در مقدّمه سوم و كذب مقدّم و تالى آن، بنا به جدول ارزش فاصل، ممكن نيست و اين تناقض است. اين تناقض را به اين صورت مى‌توان آشكارتر ساخت كه بگوييم كذب مقدّم و تالى تركيب فصلى در مقدّمه سوم مستلزم كذب آن تركيب فصلى است:

مى‌بينيم كه با اين ارزش‌گذارى‌ها، به تناقض مى‌رسيم. اين امر نشان مى‌دهد كه فرض نخستين، يعنى فرض صدق مقدّمه‌ها و كذب نتيجه، باطل است؛ ممكن نيست مقدّمه‌ها صادق باشند و نتيجه كاذب باشد. بنابراين، صورت‌برهان بالا معتبر است.[٢٦]

قاعده‌هاى آزمون اعتبار را براى منطق كلاسيك، به كوتاهى، بيان كرديم. همه اين قاعده‌ها براى منطق KRنيز برقرارند، مگر در مورد قاعده‌هاى دو يا چندمقدّمه‌اى. از آنجا كه شرطى ربطى و قاعده‌هاى دو يا چندمقدّمه‌اى در منطق KRشرايط صدق و تعريف اعتبار ديگرى دارند، آزمون اعتبار براى اين دو منطق از اين دو جهت متمايز مى‌شود. شرايط صدق ادات شرطى ربطى و تعريف اعتبار براى قاعده‌هاى دومقدّمه‌اى را قبلاً آورديم؛ بنابراين، تنها لازم است قاعده‌هاى آزمون براى شرطى ربطى را بيان كنيم. امّا اينك، براى يادآورى، همه را تكرار مى‌كنيم:

بنا به شرايط صدق ادات شرطى، مى‌توان شرايط كذب آن را نيز به دست آورد:

چنان‌كه ديده مى‌شود، اعتبار براى فرمول‌هاى شرطى و قاعده‌هاى تك‌مقدّمه‌اى يكسان است.

از «شرايط صدق و كذب» شرطى ربطى، مى‌توان قاعده‌هايى براى «آزمون اعتبار» شرطى به دست آورد.

اكنون بايسته است آزمونى را كه طرّاحى كرده‌ايم، در چند مثال، به كار بگيريم تا توانمندى‌هاى آن آشكار گردد:

در آغاز، فرمول M٣را از قضاياى كلاسيك در نظر بگيريد:

M_٣ PÚ(P→Q)

از آنجا كه ادات اصلى اين فرمول شرطى ربطى نيست، براى سنجش اعتبار آن، بايد آن را در جهان نرمال gكاذب بگيريم:

بنا به جدول ارزش فاصل، داريم:

بنا به قاعده آزمون، كذب شرطى در جهان نرمال gيك جهان جديد توليد مى‌كند كه مقدّم شرطى در آن صادق، و تالى شرطى در آن كاذب است:

آشكار است كه دو جهان gو xنمى‌توانند يكى باشند؛ زيرا Pدر xصادق، و در g كاذب است. از اينجا معلوم مى‌شود كه اگر تنها يك جهان داشتيم، كذب فرمول M٣ما را به تناقض مى‌رسانْد؛ امّا چون دو جهان داريم، به تناقض نمى‌رسيم. نرسيدن به تناقض نشان مى‌دهد كه فرمول M٣در منطق KRنامعتبر است؛ امّا براى عدم اعتبار بايد يك مدل نقض ارائه كنيم. در هر مدل، همه جمله‌نشانه‌ها بايد در همه جهان‌ها ارزش گرفته باشند؛ امّا ارزش Qدر جهان gهنوز به دست نيامده است. از آنجا كه ارزش Qدر جهان gتأثيرى بر ارزش فرمول در gو در xنمى‌گذارد، مى‌توانيم به Qارزش صدق يا ارزش كذب بدهيم. بر اين اساس، دو مدل نقض ارائه مى‌كنيم:

از آنجا كه ارزش ساير جمله‌نشانه‌ها (مانند S، Rو...) در اين دو مدلْ تأثيرى ندارد، مى‌توانيم همه آنها را در هر دو جهان صادق بگيريم يا همه را در هر دو جهان كاذب بگيريم يا برخى را صادق و برخى را كاذب بگيريم. اين امر نشان مى‌دهد كه براى فرمول M٣، نه دو مدل نقض، بلكه بى‌نهايت مدل نقض داريم! در حقيقت، دو مدل بالا، مدل‌هاى ناقصى هستند كه به بى‌نهايت روش مى‌توانند تكميل شوند. ما از نوشتن مدل‌هاى نقض به صورت كامل همواره پرهيز مى‌كنيم.

اكنون به پارادوكس انفصال از قضاياى كلاسيك مى‌پردازيم:

(P→Q)Ú(Q→P) پارادوكس انفصال

براى سنجش اعتبار اين فرمول، بايد آن را در جهان نرمال gكاذب بگيريم (زيرا ادات اصلى آن شرطى ربطى نيست):

بنا به جدول ارزش فاصل، داريم:

بنا به قاعده آزمون، كذب شرطى در جهان نرمال gجهان تازه‌اى توليد مى‌كند كه مقدّم شرطى در آن صادق، و تالى شرطى در آن كاذب است. امّا در اينجا، دو شرطى كاذب داريم؛ بنابراين، دو جهان تازه ساخته مى‌شود:

آشكار است كه دو جهان xو yنمى‌توانند يكى باشند؛ زيرا ارزش Pو Qدر آنها متعارض است. از اينجا معلوم مى‌شود كه اگر تنها يك جهان داشتيم، كذب پارادوكس انفصال ما را به تناقض مى‌رسانْد؛ امّا چون دست‌كم دو جهان متمايز داريم، به تناقض نمى‌رسيم. براى عدم اعتبار پارادوكس انفصال بايد يك مدل نقض ارائه كنيم. اين مدل مى‌تواند سه جهان g، x و yرا داشته باشد كه ارزش Pو Qدر جهان gدلخواه است. از اين‌رو، چهار مدل نقض براى پارادوكس انفصال به دست مى‌آيد.

از آنجا كه رابطه دسترس‌پذيرى در مدل سه‌جهانى عضوهاى بسيارى دارد و نوشتن آن طولانى مى‌شود، مناسب است كه ببينيم آيا مى‌توان مدل بالا را دوجهانى ساخت؟ از آنجا كه ارزش‌هاى موجود در جهان gتعارضى با ارزش‌هاى موجود در جهان‌هاى xو y ندارد، به نظر مى‌رسد بتوان يكى از آن دو را با gاين‌همان گرفت. ما جهان gرا با y اين‌همان مى‌گيريم و به مدل زير مى‌رسيم:

اكنون به قاعده استلزام از قاعده‌هاى يك‌مقدّمه‌اى مى‌پردازيم:

ابتدا، جهت بالا به پايين را بررسى مى‌كنيم. براى سنجش اعتبار قاعده‌هاى يك‌مقدّمه‌اى، بايد مقدّمه را در يك جهان صادق، و نتيجه را در همان جهان كاذب بگيريم:

بنا به جدول ارزش فاصل و ناقض، داريم:

امّا بنا به شرط انعكاس Rxxxرا داريم؛ و چون شرطى PQدر x(موضع نخست R) و مقدّم آن در x(موضع دوم R) صادق هستند، بنا به «شرط صدق» شرطى در جهان‌هاى غيرنرمال، Qبايد در x(موضع سوم R) صادق باشد:

اين تناقض نشان مى‌دهد كه جهت بالا به پايين قاعده استلزام معتبر است (زيرا فرض عدم اعتبار آن ما را به تناقض رساند.) توجه شود كه ما مى‌توانستيم رابطه Rxxx را به صورت زير نيز نشان دهيم:

در اين نمودار، چون شرطى و مقدّم آن در دو جهان سمت چپ صادق هستند، ناگزير تالى در جهان سوم (در اينجا، يعنى جهان سمت راست كه همان xاست) صادق خواهد بود و اين مسئله ما را به تناقض مى‌رساند. با اينكه ترسيم چنين نمودارى چندان دشوار نيست، ترجيح مى‌دهيم از نمودار ساده‌تر پيشين استفاده كنيم.

امّا براى سنجش اعتبار جهت پايين به بالاى قاعده «استلزام»، بايد مقدّمه را در يك جهان صادق، و نتيجه را در همان جهان كاذب بگيريم:

بنا به قاعده «آزمون اعتبار»، كذب شرطى در يك جهان غيرنرمالْ دو جهان جديد مانند yو zپديد مى‌آورد كه اوّلاً، Rxyzبرقرار است؛ ثانيا، مقدّم آن شرطى در yصادق، و تالى آن در zكاذب است:

آشكار است كه سه جهان x، y، و zنمى‌توانند يكى باشند؛ زيرا در اين صورت، تركيب فصلى داراى دو ارزش متناقض مى‌شود. از اينجا معلوم مى‌شود كه اگر تنها يك جهان داشتيم، نمى‌توانستيم عدم اعتبار قاعده استلزام (از جهت پايين به بالا) را نشان دهيم. با متمايز گرفتن سه جهان بالا، مى‌توانيم يك مدل نقض چهارجهانى (سه جهان موجود در نمودار به همراه جهان نرمال g) براى اين قاعده ارائه كنيم؛ امّا بهتر است مدل نقض كوچك‌ترى بسازيم. براى ارائه مدل نقض دوجهانى، بايد يكى از x، y، و zرا gبگيريم. هركدام از اين سه را كه gبگيريم، دو جهان ديگر يكى مى‌شوند. ما در اينجا، yرا g مى‌گيريم و zرا در xادغام، و ارزش فرمول‌ها را بر اساس آن محاسبه مى‌كنيم:

چون ارزش Qدر gنامتعيّن است و هر ارزشى براى آن در نظر بگيريم ايرادى پيش نمى‌آيد، ارزش Qرا در آن صادق مى‌گيريم و به مدل نقض زير مى‌رسيم:

اكنون به قاعده «عكس نقيض» از قاعده‌هاى يك‌مقدّمه‌اى مى‌پردازيم:

براى سنجش اعتبار اين قاعده، بايد مقدّمه را در يك جهان صادق، و نتيجه را در همان جهان كاذب بگيريم:

بنا به قاعده «آزمون اعتبار»، كذب شرطى در يك جهان غيرنرمالْ دو جهان جديد مانند yو zپديد مى‌آورد كه اوّلاً، Rxyzبرقرار است؛ ثانيا، مقدّم آن شرطى در yصادق، و تالى آن در zكاذب است:

اكنون، بنا به جدول ارزش ناقض، ارزش Qدر yو ارزش Pدر zبه دست مى‌آيد:

مى‌بينيم كه يك شرطى (PQ) در xصادق، و مقدّم آن (P) در zصادق است و داريم: Rxyz. بنابراين، تالى (Q) در yصادق مى‌شود و به تناقض مى‌رسيم:

اين موضوع نشان مى‌دهد كه قاعده عكس نقيض در KR معتبر است. توجه شود كه در اينجا، از شرط تقارن استفاده كرده، و از Rxyzبه Rxzyرسيده‌ايم؛ همچنين، با وضع مقدّم شرطى در xبا مقدّم آن در zبه صدق تالى در yرسيده‌ايم. ما همواره از شرط تقارن به صورت غيرصريح استفاده مى‌كنيم؛ از اين‌رو، در ادامه، ديگر به موارد كاربرد آن اشاره نخواهيم كرد.

يكى ديگر از قاعده‌هاى يك‌مقدّمه‌اى از دسته سوم، قاعده پخش شرطى است كه يكى از صورت‌هاى چهارگانه آن را در اينجا مورد آزمون قرار مى‌دهيم:

ابتدا به جهتِ «بالا به پايينِ» اين قاعده مى‌پردازيم. براى سنجش اعتبار اين جهت، بايد مقدّمه را در يك جهان صادق، و نتيجه را در همان جهان كاذب بگيريم:

بنا به جدول ارزش فاصل، داريم:

بنا به قاعده «آزمون اعتبار»، كذب شرطى PQدر يك جهان غيرنرمالْ دو جهان جديد مانند yو zپديد مى‌آورد كه اوّلاً، Rxyzبرقرار است؛ ثانيا، مقدّم آن شرطى در y صادق، و تالى آن در zكاذب است:

امّا P→Rنيز در xكاذب است و اين، دو جهان جديد مانند vو wرا پديد مى‌آورد:

از صدق شرطى P→ (QR)در x، و صدق Pدر yو v، نتيجه مى‌شود كه QRدر zو w صادق است:

از ارزش‌هاى به دست آمده در zو w، مى‌توان نتيجه گرفت كه Rو Q، به ترتيب، در z و wصادق هستند:

ارزش‌هاى متعارض در zو wنشان مى‌دهد كه اين دو جهان نمى‌توانند يكى باشند.

مى‌بينيم كه به تناقض نرسيده‌ايم؛ امّا همه ادات و جمله‌نشانه‌ها ارزش نگرفته‌اند. اگر همه جمله‌نشانه‌هاى بدون ارزش را صادق در نظر بگيريم، تنها ادات بدون ارزش، يعنى ادات فاصل در مقدّمه نيز ارزش مى‌گيرد و همچنان به تناقض نمى‌رسيم. آيا مى‌توانيم بگوييم اكنون استدلال نامعتبر است و يك مدل شش‌جهانى (پنج جهان نمودار به همراه جهان g) براى آن ارائه كرده‌ايم؟ خير، زيرا ارائه مدلْ مشروط به اين است كه رابطه دسترس‌پذيرى را ميان همه اين شش‌جهان، بر اساس شرايط ساختار، محاسبه كرده باشيم؛ امّا ميان شش جهان ٣^٦ رابطه دسترسى قابل تصوّر است، و ما محاسبه نكرده‌ايم كه كدام‌يك از اينها در مدل شش‌جهانى ما برقرار است و كدام‌يك برقرار نيست. بنابراين، گريزى نيست از اينكه مدل بالا را به مدلى كوچك‌تر و عملاً قابل محاسبه فروبكاهيم.

اگر x، v، و wرا با gاين‌همان بگيريم، yو zنيز اين‌همان مى‌شوند و شش جهان گفته‌شده به دو جهان gو xفرومى‌كاهند:

اكنون، جهت پايين به بالاى قاعده «پخش شرطى» را كه در منطق KRمعتبر است بررسى مى‌كنيم. در يك جهان، مقدّمه را صادق، و نتيجه را كاذب مى‌گيريم:

بنا به قاعده آزمون و شرط كذب شرطى و فاصل، داريم:

در اينجا به تناقضى نرسيده‌ايم. آيا مى‌توانيم بگوييم استدلال نامعتبر است؟ خير؛ زيرا تنها وقتى مى‌توانيم بگوييم استدلال نامعتبر است كه همه ادات‌ها و جمله‌نشانه‌ها در نمودار ارزش معيّنى گرفته باشند. ادات‌هاى شرطى مقدّمه (يعنى P→Qو P→R) در جهان xهيچ ارزشى نگرفته‌اند؛ بنابراين، نمى‌توانيم بگوييم استدلال نامعتبر است. امّا ارزش اين دو ادات شرطى در xچيست؟ صدق تركيب فصلى ميان اين دو ادات، نشان مى‌دهد كه دست‌كم، يكى از آن دو صادق است؛ امّا كدام؟

ما در اينجا، دو راه داريم: راه اوّل آن است كه اين نمودار را يك بار با فرض صدق P→Q، و يك بار با فرض صدق P→Rپيش ببريم. اگر هر دو فرضْ ما را به تناقض برساند، استدلال معتبر است؛ امّا اگر دست‌كم يكى از دو فرضْ ما را به تناقض نرساند، و همه ادات‌ها و جمله‌نشانه‌ها ارزش‌دهى شوند، آن‌گاه استدلال نامعتبر است. اين روش بسيار طولانى است و تا حد ممكن بايد از آن پرهيز كرد (در برخى مثال‌ها، از اين راه گريزى نيست.) راه دوم اين است كه از قاعده رفع تالى استفاده شود. ما اين راه را پى مى‌گيريم:

از آنجا كه رابطه Rxyzرا داريم، اگر P→Qدر x، و Pدر yصادق باشد، بايد Qدر z صادق باشد؛ امّا Qدر zصادق نيست. پس، P→Qدر xصادق نيست. با همين استدلال، مى‌توان نشان داد كه P→Rنيز در xصادق‌نيست. در اين‌صورت، در x، به تناقض مى‌رسيم:

بنابراين، قاعده «پخش شرطى» در جهت «پايين به بالا» معتبر است.

اكنون، به مثال‌هاى دشوارتر مى‌پردازيم. قاعده جايگشت از قاعده‌هاى يك‌مقدّمه‌اى است:

اين قاعده سورهاى تودرتو دارد كه اثبات اعتبار آنها، دست‌كم به دو رابطه دسترسى نيازمند است. براى اثبات قاعده جايگشت، مقدّمه‌ونتيجه‌آن‌رادريك‌جهان كاذب مى‌گيريم:

چون Q→ (P→R)در xكاذب است، پس دو جهان yو zوجود دارند كه Rxyzبرقرار است؛ Qدر yصادق، و P→Rدر zكاذب است:

امّا به دليل آنكه PRدر zكاذب است، دو جهان tو uوجود دارند كه Rztuبرقرار است و Pدر tصادق، و Rدر uكاذب است:

دوباره با وضعيتى روبه‌رو شده‌ايم كه نه به تناقض رسيده‌ايم و نه همه ادات‌ها در همه جهان‌ها ارزش‌دهى شده‌اند. البته P→ (Q→R)در xصادق مى‌باشد و مقدّم آن Pدر t صادق است؛ امّا ميان xو t، رابطه دسترس‌پذيرى مشاهده نمى‌شود تا از آن نتيجه‌اى را به دست آوريم. شايد به نظر برسد كه مى‌توان با ارزش‌دهى به جمله‌نشانه‌ها در جهان‌هايى كه ارزش ندارند كار را به پايان رساند و با نيافتن تناقض، حكم به عدم اعتبار قاعده جايگشت صادر كرد؛ امّا چنين حكمى بسيار شتاب‌زده است، چون تعداد جهان‌ها بسيار است و ما شرايط ساختار را كه شامل انعكاس، تقارن، و تعدّى است، در ميان اين جهان‌ها، بررسى نكرده‌ايم. اين احتمال هست كه با بررسى اين شرايط، تناقضى يافت شود. اتّفاقا، چنين است؛ بررسى شرايط ساختار ما را به تناقض مى‌رساند. ما در ادامه، مراحل كار را نشان مى‌دهيم:

در نمودار بالا، دو رابطه دسترسى ( Rxyzو Rztu) مشاهده مى‌شوند. اين دو رابطه را به صورت ساده‌تر: R(xy)tuمى‌توان نوشت. بنا به شرايط جابه‌جايى و شركت‌پذيرى (يا تقارن و تعدّى)، مى‌توان به رابطه R(xt)yuرسيد.[٢٧] امّا اين رابطه، بنا به تعريف، برابر است با $w(Rxtw & Rwyu) نمودار اين تعريف به شكل زير است:

اكنون ‌فرمول‌هاى ‌ارزش‌ دهى ‌شده ‌در نمودار پيشين ‌را به ‌جهان‌هاى ‌نمودار جديد منتقل‌مى‌كنيم:

از آنجا كه رابطه Rxtwرا داريم، و P(QR)در xصادق مى‌باشد و Pدر tصادق است، بنابراين QRدر wصادق است:

از آنجا كه رابطه Rwyuرا داريم، و QRدر wصادق مى‌باشد و Qدر yصادق است، بنابراين Rدر uصادق خواهد شد:

همان‌طور كه مى‌بينيم، در جهان u، به تناقض مى‌رسيم؛ بنابراين، جايگشت در منطق KRمعتبر است. پيچيدگى اين مثال در آن است كه در نگاه نخست، تناقضى در نمودارهاى نخستين ديده نمى‌شود و بايد از رابطه R(xy)tu، به رابطه R(xt)yuرسيد.

در اينجا، دو نكته بسيار باريك هست كه اگر به آنها توجه شود، اين رابطه‌ها آسان‌تر يافته و اثبات مى‌شوند:

١) انتقال ميان اين دو رابطه، جزء شرايط ساختار نيست؛ بايد امكان اين انتقال اثبات شود (اثبات اينكه چنين انتقالى امكان‌پذير است، با نام‌هايى چون «انتقال» و «تعدّى»، دشوار مى‌نمايد؛ امّا با نام‌هايى چون «جابه‌جايى» و «شركت‌پذيرى»، بسيار آسان‌تر است.)

٢) از كجا بايد مى‌دانستيم كه لازم است، از رابطه نخست، به رابطه دوم رسيد؟ ميان جهان‌هاى x، y، t، و u، مى‌توان رابطه‌هاى بسيارى تصوّر كرد؛ از كجا بايد مى‌دانستيم كه اين رابطه خاص (و نه ديگر رابطه‌ها) برايمان سودمند است؟ در پاسخ به اين پرسش بسيار مهم، بايد به نمودار پيش از تغيير نگريست:

رابطه R(xt)yuاز اين نمودار خوانده مى‌شود و شرطى تودرتوى P→ (Q→R)در x صادق است؛ دو مقدّم آن ( Pو Q)، به ترتيب، در yو tصادق هستند و تالى آن (R) در u كاذب است. پيشتر، وقتى مفهوم رابطه چهارموضعى را بيان مى‌كرديم، گفتيم كه رابطه چهارموضعى مانند R(xt)yuبه اين معناست كه اگر يك شرطى تودرتو در جهان اوّل آن صادق باشد و دو مقدّم آن در دو جهان بعدى صادق باشند، آن‌گاه تالى تالى آن شرطى در جهان چهارم صادق خواهد بود. در نمودار بالا، مى‌بينيم كه شرطى تودرتوى P→ (Q→R)در xصادق است و دو مقدّم آن ( Pو Q)، به ترتيب، در yو t(و نه در tو y) صادق هستند. اكنون، اگر رابطه چهارموضعى R(xt)yuرا داشته باشيم، بايد نتيجه بگيريم كه Rدر uصادق است. اين امر نشان مى‌دهد كه اگر بتوانيم رابطه R(xt)yuرا اثبات كنيم، مى‌توانيم به تناقض برسيم. با اين شگرد، در بسيارى از موارد، مى‌توان حدس زد كه چه رابطه‌هايى مى‌تواند ما را به تناقض برساند.

آزمونى كه در اين مقاله براى اعتبارسنجى در منطق KRارائه كرديم، با اصلاحاتى، برگرفته از آزمون اعتبارى است كه هيوز و كرسوِل در سال ١٩٩٦ به دست داده بودند. مقايسه‌اى ميان اين دو «آزمون اعتبار» نشان مى‌دهد كه به رغم همه تلاش‌هايى كه با هدف ساده‌سازى آزمون اعتبار براى منطق KRانجام داده‌ايم، اين آزمون بسيار دشوارتر از آزمون مشابه براى منطق موجّهات است. از آنجا كه سمانتيك منطق ربط R(منطقى كه استنتاج گزاره‌هاى دلخواه از تناقض را ممنوع مى‌داند) پيچيده‌تر از سمانتيك منطق KR است، مى‌توان نشان داد كه منطق ربط Rآزمون اعتبار دشوارترى دارد.

از اينجا، مى‌توان پى برد كه اگر شرطى لزومى از منطق سينوى را بخواهيم با «استلزام ربطى» به جاى «استلزام اكيد» تحليل كنيم، با نظام‌هاى بسيار پيچيده و دشوارى روبه‌رو مى‌شويم كه تعيين اعتبار و عدم اعتبار استدلال‌ها در اين نظام‌ها به مراتب پيچيده‌تر و دشوارتر است. از آنجا كه «استلزام اكيد» گزينه مناسبى براى تحليل «شرطى لزومى» نيست و پارادوكس‌هاى بسيارى در تحليل «شرطى لزومى» مى‌آفريند، نتيجه مى‌گيريم كه يك نظام كامل و بى‌عيب و نقص براى «شرطى لزومى» نظامى بسيار پيچيده و دشوار است و اين هزينه‌اى است كه بايد براى استفاده از توانمندى‌هاى فوق‌العاده شرطى لزومى پرداخت.

ـ اندرتون، هربرت بى.، آشنايى با منطق رياضى، ترجمه غلامرضا برادران خسروشاهى و محمّد رجبى طرخورانى، تهران، نشر دانشگاهى، ١٣٦٦.

ـ جفرى، ريچارد، قلمرو و مرزهاى منطق صورى، ترجمه پرويز پير، تهران، علمى و فرهنگى، ١٣٦٦.

ـ ريد، استيون، فلسفه منطق ربط، ترجمه اسداللّه فلاحى، قم، دانشگاه مفيد، ١٣٨٥.

ـ فلاحى، اسداللّه، «شرطى لزومى در منطق جديد»، تأملات فلسفى، ش ١، بهار ١٣٨٨، ص ٧ـ٤٦.

ـ ـــــ ، «سلب لزوم و لزوم سلب در شرطى سالبه كليه»، معرفت فلسفى، ش ٢٥، پاييز ١٣٨٨، ص ٢٣٣ـ٢٦٠.

ـ ـــــ ، «شرطى اتفاقى در منطق جديد»، پژوهش‌هاى فلسفى، ش ٢١٤، پاييز و زمستان ١٣٨٨، ص ١٠٥ـ١٣٣.

ـ ـــــ ، «لزومى حقيقى و لزومى لفظى»، فلسفه و كلام اسلامى (مقالات و بررسيها)، دفتر ١، پاييز و زمستان ١٣٨٨، ص ١٠٧ـ١٢٩.

ـ ـــــ ، نقض بولى و نقض دمورگان در منطق ربط و منطق كلاسيك، رساله دكترى، تهران، دانشگاه تربيت مدرس، ١٣٨٦.

ـ ـــــ ، منطق موجّه، پايان‌نامه كارشناسى ارشد، قم، دانشگاه مفيد، ١٣٨٠.

ـ نبوى، لطف‌اللّه، مبانى منطق جديد، تهران، سمت، ١٣٧٧.

ـ ـــــ ، منطق ربط، تهران، دانشگاه تربيت مدرس، ١٣٨٩.

ـ هاك، سوزان، فلسفه منطق، ترجمه سيد محمّدعلى حجتى، قم، كتاب طه، ١٣٨٢.

- Anderson, A. R., & N. Belnap & M. Dunn, Entailment: the Logic of Relevance and Necessity, Princeton, Princeton University Press, ١٩٧٥, v. I.

- Anderson, A. R., & N. Belnap, Entailment: the Logic of Relevance and Necessity, Princeton, Princeton University Press, ١٩٩٢, v. II.

- Hughes, E. G. & M. Cresswell, A New Introduction to Modal Logic, London, Routledge, ١٩٧٥.

- Priest, Graham, & Sylvan, Richard, "Simplified Semantics for Basic Relevant Logics", Jurnal of Philosophical Logic, v. ٢١, ١٩٩٢, p. ٢١٧-٢٣٢.

- _____ , Introduction to Non-Classical Logic, Cambridge, Cambridge University Press, ٢٠٠١.

- Read, Stephen, Relevant Logic, Oxford, Basil Blackwell, ١٩٨٨.

* استاديار مؤسسه پژوهشى حكمت و فلسفه ايران. دريافت: ٢٩/١/٩٠ ـ پذيرش: ١٤/٧/٩٠.

[email protected]

[١]ـ درباره شرطى‌هاى لزومى و اتّفاقى و تحليل آنها در منطق جديد، مى‌توان به مقالات زير مراجعه كرد: اسداللّه فلاحى، «شرطى لزومى در منطق جديد»، تأمّلات فلسفى، ش ١، ص ٧ـ٤٦؛ همو، «شرطى اتّفاقى در منطق جديد»، پژوهش‌هاى فلسفى، ش ٢١٤، ص ١٠٥ـ١٣٣.

[٢]ـ بحث فلسفى از انواع شرطى در منطق جديد در بيشتر آثار فلسفه منطق آمده است؛ براى نمونه، ر.ك: سوزان هاك، فلسفه منطق، ترجمه سيد محمّدعلى حجتى.

[٣]ـ براى نمونه، بحث‌هاى دشوار ارائه‌شده، ر.ك: اسداللّه فلاحى، «سلب لزوم و لزوم سلب در شرطى سالبه كليه»، معرفت‌فلسفى، ش٢٥، ص٢٣٣ـ٢٦٠؛ همو، «لزومى‌حقيقى‌ولزومى‌لفظى»، فلسفه و كلام اسلامى، ص١٠٧ـ١٢٩.

[٤]. Relevance Logic.

[٥]. Relevant Logic

[٦]ـ براى آشنايى با منطق ربط، ر.ك: استيون ريد، فلسفه منطق ربط، ترجمه اسداللّه فلاحى؛ لطف‌اللّه نبوى، مبانى منطق فلسفى.

[٧]ـ اين منطق‌ها را مى‌توان در آثار زير يافت: استيون ريد، همان؛ اسداللّه فلاحى، نقض بولى و نقض دمورگان در منطق ربط و منطق كلاسيك؛

A. R., Anderson & N, Belnap, Entailment: the Logic of Relevance and Necessity, v. ١; A. R., Anderson & N, Belnap & M. Dunn, Entailment: the Logic of Relevance and Necessity. v. II.

[٨]. Testing for validity.

[٩]ـ روش جدول ارزش ويژه منطق گزاره‌هاست و براى ديگر منطق‌ها كاربرد ندارد. روش نمودارى براى منطق گزاره‌ها در بسيارى از كتاب‌هاى آموزشى بيان شده است؛ براى كاربرد اين روش در منطق محمول‌ها، مى‌توان به ريچارد جفرى، قلمرو و مرزهاى منطق صورى، ترجمه پرويز پير، ص ١٣١ـ١٣٦ مراجعه كرد. گريَم پريست روش نمودارى را به منطق‌هاى ربط توسعه داده است:

Graham Priest, A Introduction to Non-Classocal Logic, p. ١٨٤-١٩٢.

تعريف صورت نرمال در برخى آثار ترجمه‌شده به فارسى آمده است (هربرت. بى. اندرتون، آشنايى با منطق رياضى، ترجمه‌غلامرضابرادران‌خسروشاهى و محمدرجبى‌طرخورانى،ص٥٧و١٦٦ـ١٦٨)؛امّاآزمون‌اعتبار به روش صورت‌برهان را نگارنده تنها در اثرى از هيوزوماكس‌كرسوِل،آن‌هم‌براى‌منطق موجّهات ديده است:

Hughes & Cresswell, A New Introduction to Modal Logic, p. ١٠٣-١٠٥.

[١٠]. Truth-Table Method.

[١١]. Tableaux Method.

[١٢]. Normal Form Method.

[١٣]. Valuation Method.

[١٤]ـ لطف‌اللّه نبوى، مبانى منطق جديد، ص ٦١ـ٦٢.

[١٥]. Hughes and Cresswell, Op.Cit, p. ٧٢-٩٢.

[١٦]ـ اسداللّه فلاحى، منطق موجّه، ص ٨٦ـ١٠٨.

[١٧]ـ لطف‌اللّه نبوى، مبانى منطق فلسفى، ص ١٤٨ و ١٥٢ـ١٥٣.

[١٨]ـ استيون ريد، همان، ص ٣٥٥ـ٣٥٧ و ٣٨٠ـ٣٨١.

[١٩]ـ همان، ص ١١١ـ١١٥، ٣٥٨ـ٣٧٦ و ٣٨١ـ٤٠٠.

[٢٠]. Graham Priest & Richard Sylvan, "Simplified Semantics for Basic Relevant Logics", Jornal of Philosophical Logic, v. ٢١, p. ٢١٧-٢٣٢.

[٢١]ـ شرط صدق «استلزام ربطى» در جهان‌هاى غيرنرمال نيز، نسبتا شبيه شرط صدق «استلزام اكيد» در جهان‌هاى منطق S٤است؛ تنها تفاوت آن است كه به جاى اينكه مقدّم و تالى شرطى در يك جهان مشترك در دسترس w بررسى شوند، در دو جهان جداگانه xو y(در دسترس w) بررسى مى‌شوند.

[٢٢]ـ براى درك دليل نام‌گذارى شرط «تعدّى» مى‌گوييم: اگر جهت چپ به راست تعريف «تعدّى» را بنويسيم و با قواعد منطق محمول‌ها هم‌ارزهاى آن را به دست آوريم، بهتر مى‌توانيم مفهوم «تعدّى» را در آن درك كنيم:

مى‌بينيم كه با كمى آسان‌گيرى، مى‌توان گفت كه فرمول اخير مى‌گويد: اگر جهان xبه جهان y، و جهان yبه جهان z دسترسى داشته باشد، جهان xبه جهان zدسترسى دارد و اين همان تعدّى است كه در سمانتيك منطق‌هاى وجهى با آن آشنا شديم. (همچنين، با آسان‌گيرى بيشتر، مى‌توان گفت كه فرمول اخير مى‌گويد: اگر aبه y، و y به dدسترسى داشته باشد، aبه dدسترسى دارد.)

[٢٣]ـ رابطه «دسترسى» و «ديدن» ميان جهان‌ها استعاره‌اى زيباست: انسان از طريق تلويزيون و امواج راديويى، به ديگر نقاط جهان دسترسى مى‌يابد و از طريق دوربين و تلسكوپ، دوردست‌ها و ستاره‌ها را مى‌بيند. امّا اين استعاره زيبا، چنان‌كه كريپكى هشدار داده است، مى‌تواند بسيار گمراه‌كننده باشد. رابطه «دسترسى» و «ديدن»، دقيقا به همان معنايى كه در متن مى‌گوييم، بايد فهميده شود.

[٢٤]. Hughes and Cresswell, Op.Cit, p. ٧٢-٩٣.

[٢٥]ـ لطف‌اللّه نبوى، مبانى منطق جديد، ص ٦١.

[٢٦]ـ براى شرح بيشتر اين روش، و گشودن گره‌هايى كه گاه در يافتن ارزش برخى فرمول‌ها مانند تركيب شرطى صادق، تركيب فصلى صادق، تركيب عطفى كاذب و نيز دوشرطى به وجود مى‌آيد، ر.ك: اسداللّه فلاحى، منطق موجّه، ص ٩٤ـ٩٩؛Hughes & Cresswell, Op.Cit, p. ٨٠-٨٥ .

[٢٧]ـ براى رسيدن به رابطه R(xt)yu، مى‌توان برهان زير را آورد: