معرفت فلسفی - موسسه آموزشی پژوهشی امام خمینی (ره) - الصفحة ٣ - بررسي و تبيين برهان گودل/ حسن عبدي

حسن عبدي

چکيده

«برهان گودل»[١] چيست؟ اين برهان چگونه نظرية مبناگروى[٢] در باب توجيه را به چالش مى‌گيرد؟ و آيا برهان گودل از عهدة نقد مبناگروى بر ‌مي‌آيد يا نه؟ اين سه پرسش‌هايي هستند که نوشتارحاضر در پى پاسخ‌گفتن به آنهاست. در مقدمه، نکات مقدماتى در باب تعريف رايج معرفت، مسئلة توجيه و نظرية مبناگروى را از نظر خواهيد گذراند. بدنة اصلى مقاله تحت عنوان «مطالب» به سه بخش تقسيم شده که هر بخشى عهده‌دار پاسخ‌گويى به يکى از پرسش‌هاى سه‌گانه است. در بخش اول وجه مشترک ميان همة تقريرهاى مبناگروى بيان شده است. در بخش دوم، طي دوازده مرحله برهان گودل تبيين شده، و سرانجام در بخش سوم، چهار پاسخ به برهان گودل مطرح گرديده است. در بخش نتيجه‌گيرى نيز خلاصه‌اى از نتايج مقاله ارائه شده است.

کليد واژه‌ها: توجيه، مبناگروى، برهان گودل، قضية عدم تماميت.

١. مقدمه

از زمان افلاطون به اين سوي، اکثر فيلسوفان معرفت را به «باورِ صادقِ موجه» تعريف کرده‌اند.[٣] اگرچه تا مدت‌ها فيلسوفان از کنار اين تعريف به راحتي مى‌گذشتند در چند دهة اخير نقد و بررسى هر يک از عناصر اين تعريف در کانون توجه معرفت‌شناسان قرار گرفته است. از جمله عناصر سه‌گانة اين تعريف عنصر «توجيه» است. کليدى و بنيادين بودن بحث توجيه سبب شده تا حجم زيادى از کتاب‌هاى معرفت‌شناسى به بررسى و نقد معيار توجيه اختصاص يابد. امروزه در پاسخ به اين پرسش که «معيار موجه بودن معرفت چيست؟» ديدگاه‌هاى مختلفى مطرح مى‌شود که رايج‌ترين آنها نظرية مبناگروى و نظرية انسجام‌گرايى است.[٤] از ميان اين دو نظريه مبناگروي بيشتر كانون توجه بوده و مى‌توان پيشينة آن را در يونان باستان و به‌ويژه در انديشه‌هاي ارسطو پى‌گرفت.[٥]

به هر حال پيشينة مبناگروى هيچ گونه مصونيتى براى آن به همراه نداشته و در کتاب‌هاى معرفت‌شناسى نقدهاى مختلفى بر آن وارد شده است. با مطالعة کتاب‌ها و مقالاتى که در زمينة معرفت‌شناسى نگارش يافته با نقدها و اشکال‌هاى مختلفى روبه‌رو مى‌شويم. از جملة اين نقدها ايرادى است که کورت گودل ِرياضى‌دان و منطق‌دان در قالب برهان رياضى بر اين نظريه وارد کرده است.[٦] در باب اين نقد نکته‌اى حاشيه‌اى نيز وجود دارد که بر پيچيدگى آن افزوده است. در موارد متعددى نويسندگان تنها به بيان اين مطلب بسنده کرده‌اند که برهان گودل نقدى جدى بر نظرية مبناگروى به شمار مي‌آيد و به بهانة «دشوارى فهم آن» از پرداختن به تبيين و توضيح برهان گودل پرهيز کرده يا حداکثر خوانندگان را به کتاب‌هاى ديگر راه‌نمايى کرده‌اند.[٧] از اين روي، معمولاً اين دو پرسش همواره خاطر خوانندگان اين گونه آثار را به خود مشغول داشته است: اوّلا،ً مفاد و محتواى برهان گودل چيست. ثانياً، اين برهان چگونه نظرية مبناگروى را به چالش مى‌گيرد؟

نخست تصويرى از مبناگروى مطرح خواهيم ساخت و در ادامه مى‌کوشيم تا به تصورى روشن از برهان گودل دست يابيم. سپس در بخش سوم به اين مسئله مى‌پردازيم که آيا مى‌توان اين برهان را نقدى بر مبناگروى به شمار آورد يا نه؟

١ـ٢. تبيين مبناگروى

بيان مفصل ديدگاه مبناگروى و پرداختن به تقريرهاى گوناگونى که از آن ارائه شده در راستاى اهداف اين مقاله نيست. بنابراين تنها به طرح عصارة اين ديدگاه که به نظر مى‌رسد در همة تقريرها مشترک باشد بسنده مى‌شود. مبناگروى به ديدگاهى اطلاق مى‌شود که در ميان مجموعة باورها، گزاره‌ها معرفت‌ه بر حسب تعبيرهاى مختلفى که نويسندگان به کار برده‌اند دسته‌اى را با نام باورها، گزاره‌ها يا معرفت‌هاى پايه مشخص مى‌سازد و ديگر موارد را باورها، گزاره‌ها يا معرفت‌هاى غير پايه مى‌نامد، و مدعى است که دستة دوم توجيه خود را از ابتنا بر دستة نخست کسب مى‌کنند. پس با فرض اينکه Q, P و r نماد براى گزاره و S نماد براى فاعل شناسا باشد مى‌توان گفت که عصارة ديدگاه مبناگروى از اين قرار است:

١. S باور دارد به P.

٢. باورS به P يا

a/٢. خود ‌موجه است؛ يعنى باور S به P نياز به توجيه ندارد. ]: باورهاى پايه[

b/٢. خود‌ ‌موجه نيست؛ يعنى باور S به P بر اساس باور او به q توجيه شده است. ]: باورهاى غير پايه[

٣. باورS به q يا

a/٣. خود‌ موجه است؛ يعنى باور S به q نياز به توجيه ندارد.

b/٣. خود‌ موجه نيست؛ يعنى باورS به q بر اساس باور او به r توجيه شده است.

٤. مجموعة باورهاى غير خود ‌موجه S بر باورهاى خود‌ـ ‌موجه او مبتنى هستند.[٨]

٢ـ٢. تبيين برهان گودل

در آستانة تبيين اين برهان توجه به دو نکته بجا خواهد بود. نکته اول اينکه اصل مقالة گودل به زبان آلمانى است، و به دليل دشوارى آن، برخى کوشيده‌اند با إعمال تغييراتى، از دشوارى آن بکاهند. تقريرهاى مختلفى را مى‌توان تحت عنوان برهان گودل يافت. در اين مقام ما به بيان تقريرى خواهيم پرداخت که با وجود سادگى چندان از محتواى مقاله گودل فاصله نگرفته باشد.[٩] نکته دوم اينکه براى سهولت کار آن را در دوازده مرحله بيان مى‌کنيم و البته مانند هر برهان ديگرى پذيرش نتيجة نهايى منوط به پذيرش يک يک مقدمات آن است و هر گونه ترديد در يکى از مقدمات نتيجه را از اعتبار خواهد انداخت.

گودل با استفاده از منطق رياضي نشان مي‌دهد با فرض دستگاهي كه گزاره‌هاي آن با استفاده از روش تأسيس اصل به اصول و قضايا تقسيم شده باشند، هميشه قضيه يا قضايايي به دست مي‌آيد كه هم خود آنها و هم نقيضشان را مي‌توان از اصول استنتاج كرد، و در نتيجه دستگاه مذبور ناسازگار است.[١٠]

١ـ٢ـ٢. مرحلة اول

در منطق رياضي، قواعد را با استفاده از نمادهايي بيان مي‌كنند. در يك تقسيم، اين نمادها بر دو قسم اند: نمادهاي ثابت و نمادهاي متغير. نمادهاي ثابت خود به دو دسته تقسيم مي‌شوند: ادوات منطقي و نشانه‌هاي نقطه‌گذاري. نمادهاي متغير نيز سه دسته‌اند: متغيرهاي عددي، كه جايگزين اعداد مي‌شوند؛ متغيرهاي جمله‌اي، كه به جاي فرمول‌ها مي‌نشينند؛ و متغيرهاي محمولي، كه جايگزين محمولات مي‌شوند. گودل در ارائة استدلال خود از اين نمادها بهره مي‌گيرد. اين نمادها عبارت‌اند از:

١. نمادهاي ثابت:

ادوات منطقي: $ É Ú ~ = S o؛

نشانه‌هاي نقطه‌گذاري: نمادِ ( ، نمادِ ) و نمادِ , ؛

٢. نمادهاي متغير:

متغيرهاي عددي: x ، y ، z ؛

متغيرهاي جمله‌اي: p ، q ، r ؛

متغيرهاي محمولي: P ، Q ، R.

٢ـ٢ـ٢. مرحلة دوم

گودل در گام بعد براي هر يك از اين نمادها عدد منحصر به فردي در نظر مي‌گيرد. شيوه‌اي كه او براي تعيين عدد هر يك از نمادها برگزيد به اين صورت بود كه براي نمادهاي ثابت، به ترتيب، عددهاي يك تا ده، و براي نمادهاي متغير عددي، به ترتيب، عددهاي اول بزرگ‌تر از ده، و براي نمادهاي متغير جمله‌اي، به ترتيب، عددهاي اول بزرگ‌تر از ده با توان دو، و براي نمادهاي متغير محمولي، به ترتيب، عددهاي اول بزرگ‌تر از ده با توان سه را معين كرد:

١. نمادهاي ثابت: