نشریه معرفت - موسسه آموزشی پژوهشی امام خمینی (ره) - الصفحة ٦ - گزارههاي كلي و وجودي در منطق رياضي و كلاسيك

(قسمت اول)

عليرضا قائمي‌نيا

مقدمه

در منطق كلاسيك، از گزاره‌ها و تقسيمات آن، به عنوان مقدمه‌اي بر مباحث حجت (تصديق معلوم موصل) بحث مي‌شود و نخست، در يك تقسيم‌بندي، قضايا به حملي و شرطي، تقسيم شده و سپس قضاياي حملي نيز، به محصورات چهارگانه (موجبه كليه، موجبه جزئيه، سالبه كليه و سالبه جزئيه) تقسيم مي‌شوند. بنابراين، قضاياي حملي و شرطي، در عرض يكديگر بوده و از نظر ماهيت، كاملا جدا هستند؛ يعني در حقيقت، هر چهار نوع، حملي‌اند؛ اما نظر منطق رياضي، هماهنگ با منطق كلاسيك نيست و در نتيجه، مدافعين هر يك از دو منطق، دلايلي را براي اثبات نظر خود و رد نظر مقابل اقامه كرده‌اند كه ما، نظري اجمالي به اين مباحث خواهيم افكند.

منطق رياضي و تحليل گزاره‌ها

در منطق رياضي، نخست، در منطق گزاره‌ها از روش‌هاي تركيب گزاره‌ها، به وسيله ثابت‌هاي منطقي و استدلال با آن‌ها بحث مي‌شود. كوچك‌ترين واحد اين بخش، خود گزاره است. از اين‌رو، نمادها نيز به جاي گزاره‌ها مي‌نشينند، اما در بخش منطق محمولات، به ساختمان دروني گزاره‌ها نظر مي‌شود. خود منطق محمولات نيز عنوان جامعي است كه به منطق محمولات مرتبه اول و مراتب بالاتر، تقسيم مي‌شود. در منطق محمولات، هر يك از محصورات چهارگانه، چنين تحول مي‌شوند:

١. موجبه كليه؛ مانند «هر انساني ميرا است».

٢. موجبه جزئيه؛ مانند: «بعضي از انسان‌ها نويسنده‌اند».

٣. سالبه كليه؛ مانند: «هيچ انساني سنگ نيست».

٤. سالبه جزئيه؛ مانند «بعضي از انسان‌ها نويسنده نيستند».

تحليل منطق رياضي، از گزاره‌هاي كلي و جزئي، از چند نظر تفاوت دارد.

الف) گزاره‌هاي كلي (چه موجبه و چه سالبه) حقيقتا، شرطي‌اند، ولي گزاره‌هاي جزئي، حقيقتا، تركيب شرطي نيستند، بلكه در حقيقت، تركيب عطفي‌اند.

ب) گزاره‌هاي كلي، مستلزم وجود افراد نيستند، ولي قضاياي جزئيه (چه موجبه و چه سالبه) بر وجود افراد دلالت دارند. در اين‌جا نخست، مباني و دلايلي را كه منطق‌دانان رياضي، در تحليل‌هاي خود، به كار برده‌اند، بيان كرده و سپس به بررسي آن‌ها خواهيم پرداخت.

١. چرا گزاره‌هاي كلي، شرطي هستند؟

منطق‌دانان رياضي، با در نظر گرفتن مباني خاصي، گزاره‌هاي كلي را به شرطي، تحليل كرده‌اند و آن‌ها را به صورت رمزي مذكور، درآورده‌اند. ما اين مباني را به صورت سلسله منطقي ذكر مي‌كنيم:

.١. تفاوت گزاره و گزاره نما: در منطق رياضي، فرق گذاشتن ميان گزاره (قضيه) و گزاره‌نما از اهميت خاصي برخوردار است. عبارتي كه مشتمل بر متغير مي‌باشد، مانند «xعدد صحيح است» گزاره نيست، بلكه گزاره نماست؛ زيرا اين عبارت، هر چند كه داراي صورت نحوي گزاره هست، اما فاقد شرط اساسي گزاره است، كه امكان توصيف به صدق و كذب مي‌باشد. عبارت «xعدد صحيح است» را نه مي‌توان گفت كه صادق است و نه كاذب؛ زيرا معلوم نيست كه xبر چه چيزي دلالت مي‌كند. اگر به جاي xعدد ٢را قرار دهيم، عبارت «(٢) عدد صحيح است» حاصل خواهد شد كه گزاره‌اي صادق است، اما اگر به جاي x، «سبز» را قرار دهيم، عبارتي بي‌معنا به دست خواهد آمد. كه درنتيجه، نه صادق است و نه كاذب. چيزهايي كه به جاي مجهول (يا متغيّر) قرار مي‌گيرند، ارزش متغير ناميده مي‌شوند.

راسل مي‌گويد: عبارتي نظير «مردي را ديدم» گزاره نيست، بلكه گزاره‌نماست؛ زيرا به اين معناست: «xي را ديدم و x مرد است» و در اين‌جا، حداقل، يك ارزش داريم كه اين گزاره‌نما را صادق قرار مي‌دهد و به طور عام، همه عبارت‌هاي شامل ادات ابهام و «بعضي»، «هر» و «جميع» گزاره‌نما هستند، نه گزاره؛ همچنين، عبارت‌هايي مانند: «سقراط ميرا است» نيز گزاره‌نمايند؛ زيرا "ميرا بودن سقراط " به اين معناست كه «وقت x وجود دارد و سقراط، در x مي‌ميرد»

راسل، در كتاب «منطق و علم» چنين مي‌گويد: «هنگامي كه شما مي‌خواهيد بپرسيد كه واقعاً چه چيزي در يك گزاره كلي، مانند: «همه يوناني‌ها انسانند» اظهار شده است، مي‌يابيد كه آنچه اظهار شده است، صدق همه ارزش‌هاي چيزي است كه من آن را گزاره‌نما مي‌نامم. يك گزاره‌نما به طور ساده، هر عباراتي است كه شامل يك يا چند جزء غيير معيني است كه به محض اين‌كه جزءهاي غير معيّن مشخص شوند، به گزاره تبديل خواهد شد. گزاره‌نما به يكي از سه طريق، به گزاره تبديل مي‌شود:

١. تعيين ارزش براي متغير؛ مثلاً اگر در گزاره‌نماي x «مرد است» به جايx، علي را قرار دهيم، تبديل به گزاره خواهد شد.

ب) روش دوم، اين است كه بگوييم: همه گزاره‌هايي كه از راه تعيين ارزش، براي متغير، به دست مي‌آيند، راست هستند؛ يعني گزاره‌نما به ازاي هر ارزشي كه به آن مي‌دهيم، به گزاره راست تبديل مي‌شود. (اين مفاد گزاره كلي است)

٢. روش سوم، اين است كه بگوييم: گزاره‌نما حداقل، به ازاي يكي از ارزش‌هاي متغير، به گزاره راست، تبديل مي‌شود. (اين، مفاد گزاره وجودي است كه بحث خواهد شد)

.١. ارتباط گزاره‌نما و موجهات سه گزاره‌نماي زير را با يكديگر مقايسه مي‌كنيم: «اگر x انسان است، پس x ميرا است»؛ «x انسان است»؛ «xاسب، شاخدار (Uniorn) است».

تفاوت اين سه گزاره‌نما در اين است كه اولي، به ازاي هر ارزشي كه به متغير مي‌دهيم، راست است؛ يعني هميشه راست است، اما گزاره‌نماي دوم، به ازاي بعضي از ارزش‌ها به گزاره راست تبديل مي‌شود؛ يعني گاهي راست است، ولي گزاره‌نماي سوم، به ازاي هيچ ارزشي، راست نيست.

بنابراين، به نظر راسل، بسياري از خطاهاي فلسفي، از خلط كردن گزاره‌نما و گزاره، به وجود آمده است. بسياري از فلسفه‌هاي كلاسيك، محمولاتي را به قضايا نسبت مي‌دهند، در حالي كه اين محمولات، متعلق به گزاره‌نمايند و چه بسا به موضوعات، محمولاتي را نسبت مي‌دهند كه اين محمولات نيز، متعلق به گزاره‌نمايند. در اين خلط، منطق كلاسيك نيز سهيم است؛ زيرا بحث موجهات (Modalities) را از ويژگي‌هاي گزاره‌نماست. علت اين امر روشن است؛ زيرا گزاره، تنها مي‌تواند صادق يا كاذب باشد و گزاره‌نماست كه سه حالت مذكور را دارد؛ مثلا گزاره‌نماي «x، x است» به ازاي هر ارزشي كه به x بدهيم، صادق است؛ از اين‌رو، گزاره نماي ضروري است و گزاره‌نماي «x انسان است»، گاهي صادق است؛ از اين‌رو، يك گزاره‌نماي ممكن است و گزاره‌نماي «xاسب شاخدار است»، به ازاي هيچ ارزشي، صادق نيست؛ بنابراين، گزاره‌نماي غيرممكن است.

.١. تفاوت اسم خاص و اسم كلي: مطلب ديگري كه تحليل گزاره‌هاي كلي (همچنين گزاره‌هاي جزئي) مبتني بر آن است، تفاوت ميان اسم خاص و اسم كلي (عام) است. در گزاره كلي «هر انساني ميرا است» كه در ظاهر، حملي است، اسم كلي، موضوع قرار گرفته است. اسم كلي رمزي، دال بر مركب وصفي است كه ممكن است در ميان موجودات، چيزي يا چيزهايي يافت شود كه اين كلي، در آنها نمودار شود و ممكن است هيچ فردي يافت نشود كه اين كلي، در آنها نمودار شود و ممكن است هيچ فردي يافت نشود كه كلي، بر آن، منطبق باشد. بنابراين، اسم كلي، بنفسه، متضمن وجود خود نيست؛ از اين جهت، ميان اسم خاص و اسم كلي، فرق هست؛ زيرا از نظر منطقي، محال است كه اسم علم خاص، داراي مسماي فعلي نباشد؛ زيرا بدون وجود مسمّا، اطلاق آن، جايز نخواهد بود، اما اسم كلي، به تنهايي، متضمن وجود فرد خود نيست.

نتيجه، اين‌كه: اسم كلي، در تحليل، به گزاره‌نما تبديل خواهد شد؛ يعني كلي، حقيقتا، عبارتي داراي مجهول مي‌باشد و دلالت آن كلي، تام نيست؛ مگر اين‌كه به جاي آن مجهول، چيز معلومي قرار دهيم؛ مثلاً اسم كلي «انسان»، در حقيقت، چنين است x: «متصف به انسان بودن است». اين عبارت، از جهت دلالت، ناقص است؛ مگر اين‌كه به جايx، فرد معيني را قرار دهيم كه در اين صورت، گزاره‌نما به گزاره تبديل مي‌شود. گزاره‌نمايي كه از تحليل اسم كليي كه موضوع، واقع شده است، به دست مي‌آيد، جاي مقدم تركيب شرطي را پر مي‌كند.

.١. تفاوت اسم خاص و محمول: اسم كلي، در گزاره‌نمايي كه از تحليل آن به دست مي‌آيد، جاي محمول مي‌نشيند. تفاوت ميان اسم خاص و محمول، زيربناي تفاوت تحليل گزاره‌هاي كلي و گزاره‌هاي شخصيه است. در منطق رياضي، تنها گزاره‌هاي شخصيه، داراي صورت حملي هستند و حمليه، به معناي دقيق، همين نوع گزاره‌ها هستند، ولي گزاره‌هاي كلي، حقيقتا تركيب شرطي‌اند. تفاوت ساختمان صوري اين دو نوع گزاره، (شخصيه و كلي) مبتني بر اختلاف منطقي اسم خاص و محمول است. در گزاره شخصيه، اسم خاص، موضوع واقع شده است كه واقعاً هم، موضوع است، اما در گزاره‌هاي كلي، گرچه در ظاهر، اسم كلي، موضوع واقع شده است، ولي مفاهيم كلي، هميشه محمولند. بنابراين، ساختمان صوري آن، حقيقتا چيز ديگري، غير از حملي است.

راسل، در كتاب «رشد فلسفي من» كه از آخرين نوشته‌هاي فلسفي وي است، مي‌گويد:

«از لحاظ سنتي، اسم‌هاي خاص، از اسم‌هاي عام، با اين واقعيت، تمايز داده مي‌شدند كه اسم‌هاي عام، مي‌توانند داراي نمونه‌هايي باشند، در حالي كه اسم‌هاي خاص، بر چيز يگانه‌اي دلالت مي‌كنند، اما مفهوم نمونه‌ها با مفهوم مجموعه، گره خورده است و از جنبه منطقي، اساسي نيست. چيزي كه منطق به آن نياز دارد، گزاره‌نماست؛ يعني عبارت‌هايي كه در آن‌ها يك يا چند متغير وجود دارد و هنگامي كه ارزش‌هايي براي اين متغيرها معين مي‌شود، نتيجه به دست آمده، گزاره خواهد بود. در اين صورت، نمونه‌ها ارزش‌هايي براي متغيرها خواهند بود، به طوري كه گزاره‌نماهاي مورد بحث، راست باشند. متغير مي‌تواند متغير شي‌ء يا متغير محمولي يا متغير يك خاصيت property يا متغير رابطه‌اي باشد. ارزش‌هاي ثابتي كه مي‌توانند به جاي متغير بنشينند، مطابق نوع متغير، متفاوت خواهند بود... ملاحظاتي كه در بالا انجام داديم، تعريفي نحوي syntactical از اسم‌هاي خاص، مطرح مي‌سازد؛ يعني مي‌توانيم بگوييم كه اسم خاص، كلمه‌اي است كه دلالت بر محمول يا علاقه‌اي نمي‌كند و مي‌تواند، در گزاره‌اي كه شامل متغيري نيست، بيايد. (معرفي متغيرها، در زبان‌هاي روزمره‌اي، با الفاظي مانند «يك»، «همه»، «بعضي» و... صورت مي‌گيرد. ) اكنون كه تعريف اسم خاص با نحو، مرتبط شد، فكر نمي‌كنم كه بتوان چيز بيشتري، درباره اسم‌هاي خاص گفت. »

بنابراين:

١. اسم خاص، كلمه‌اي است كه دلالت بر محمول يا علاقه (به اصطلاح منطق رياضي) نمي‌كند و در گزاره‌هاي حاي متغير، داخل نمي‌شود. در نتيجه، گزاره‌هاي شخصيه، داراي اسم خاص هستند، ولي گزاره‌هاي كلي، فاقد آن مي‌باشند (گزاره‌هاي جزئيه نيز، در اين خاصيت، با گزاره‌هاي كلي، مشتركند) زيرا الفاظي نظير «هر» و «همه» و «بعضي» در زبان روزمره، متغيرند.

٢. اسم‌هاي خاص، هميشه جاي موضوع قرار مي‌گيرند و اسم‌هاي كلي، هميشه محمول واقع مي‌شوند و اگر در ظاهر، اسم كلي، موضوع شده باشد، مانند گزاره كلي «هر انساني ميرا است» بايد گزاره را به نحوي تغيير داد كه كلي، محمول شود. در نتيجه، مفاد گزاره كلي، نسبت دادن خاصيتي به موضوعي نيست، بلكه گزاره كلي، رابطه و علاقه ميان دو محمول و دو مفهوم كلي را بيان مي‌كند. به همين ديل، گزاره كلي، از نظر صورت نمي‌تواند حمليه باشد، اما در گزاره شخصيه، خاصيتي را به موضوعي نسبت مي‌دهيم. بنابراين، گزاره‌هاي شخصيه، حمليه‌اند.

.١. عدم ضرورت وجود افراد، در گزاره‌هاي كلي: يكي از عللي كه موجب شده است تا منطق‌دانان رياضي، گزاره كلي را به صورت تركيب شرطي، تحليل كنند، ضرورت نداشتن وجود افراد، در اين نوع گزاره‌هاست. راسل، در كتاب «منطق و علم» مي‌گويد:

«مي‌خواهم به طور مؤكد بگويم كه گزاره‌هاي كلي، بايستي به نحو غير متضمن وجود، تفسير شوند؛ به عنوان مثال، هنگامي كه مي‌گويم: «همه يوناني‌ها انسانند»، از شما نمي‌خواهم كه فرض كنيد كه اين گزاره، متضمن اين مطلب است كه يوناني‌ها وجود دارند. اين گزاره، بايست مؤكدا به عنوان غير متضمن چنين مطلبي (وجود افراد) ملاحظه شود. اين مطلب، بايد به عنوان يك گزاره جداگانه، افزوده شود. اگر شما بخواهيد كه اين گزاره را به اين مفاد، تفسير كنيد، بايد گزاره "يواني‌ها وجود دارند" را اضافه كنيد. اين، مناسب كاربرد عملي است. اگر شما اين واقع را «يوناني‌ها وجود دارند» در آن مي‌گنجانيد، (يعني از اين گزاره، وجود يوناني‌ها را نيز استفاده مي‌كنيد) دو گزاره را در يك گزاره بيان مي‌كنيد و اين كار، موجب اغتشاش غير لازم، در منطق شما مي‌شود؛ زيرا انواع گزاره‌هايي كه شما مي‌خواهيد، گزاره‌هايي هستند كه وجود چيزي را اظهار مي‌كنند و گزاره‌هاي كلي، اظهار وجود چيزي را نمي‌كنند.

.١. قانون‌هاي علمي: قانون‌هاي علمي نيز، از اين نوعند؛ يعني مي‌توانيم به صدق آن‌ها حكم كنيم؛ گرچه، در واقع، مصداقي براي اين قانون‌ها نداشته باشيم؛ مثلا، قانون اول نيوتون كه به قانون لختي (اينرسي) معروف است، مي‌گويد: «هر جسمي كه در حال سكون يا حركت يكنواخت، در امتداد خط مستقيم باشد، به همان حال باقي مي‌ماند، مگر اين‌كه در اثر نيروهاي خارجي، مجبور به تغيير حالت شود. » اين گزاره، هرچند كه جسم متحركي نباشد كه تحت نيروي خارجي، موجب تغيير حالت شود، صادق است. منطق رياضي، گزاره‌هاي كلي را به صورت تركيب شرطي، تحليل مي‌كند؛ زيرا در تركيب شرطي، وجود افراد، ضرورت ندارد و حكم، به حالت تعليق، بيان مي‌شود. قانون‌هاي علمي نيز داراي همين صورتند.

كارناپ مي‌گويد:

«قوانين جهان‌شمول، به شكل منطقي «گزاره شرطي عام»، ابراز مي‌شوند؛ براي مثال، ساده‌ترين نوع قانون علمي را بررسي مي‌كنيم كه مي‌گويد: «X هر چه باشد، اگر P باشد، Q نيز هست» اين را مي‌توان با نمادها به اين شكل نوشت: ((X)١-(X)(PX QXكه در سمت چپ قرار دارد، سور عمومي خوانده مي‌شود. علامت ((Xگوياي اين است كه گزاره (١) به همه موارد x اطلاق مي‌شود، نه صرفاً به درصدي از موارد. «‌PX مي‌گويد كه P،X است و به همين ترتيب، «‌QX مي‌گويد: Q،X است» را نماد رابطه يا فعل مي‌ناميم. اين نماد، جمله سمت چپ را به جمله سمت راست آن، متصل مي‌كند. (كه در زبان فارسي، تقريبا مترادف است با «اگر... آنگاه... »)

اگر «‌X نماينده همه اجسام مادي باشد، آنگاه، اين قانون مي‌گويد كه به ازاي هر جسم ماديX، اگر X داراي خاصيت P باشد، آنگاه داراي خاصيت Q نيز هست؛ مثلاً در فيزيك، مي‌توان گفت: «اگر جسم X را حرارت دهيم، منبسط مي‌شود. » اين، همان قانون انبساط حرارتي، به ساده‌ترين شكل غير كمي آن است.

نتيجه‌گيري

نتيجه‌اي كه از سلسله مذكور مي‌گيريم، اين است كه موضوع و محمول، در گزاره كلي، هر يك به گزاره‌نمايي تبديل مي‌شود و گزاره‌نمايي كه از موضوع به دست مي‌آيد، مقدم و گزاره‌نمايي كه از محمول به دست مي‌آيد، تالي تركيب شرطي قرار مي‌گيرد. بايد خاطرنشان ساخت كه هر دو گزاره‌نما ارزش‌هاي يكسان اختيار مي‌كنند و به همين دليل، دامنه سور را با پرانتز، مشخص مي‌كنيم؛

يعني: قبل از آن‌كه به نقد بپردازيم، بايد قسمتي از مباني را كه در تحليل گزاره‌هاي جزئي، به وجودي نهفته است، بيان كنيم.

٢. چرا گزاره‌هاي جزئي، به وجودي، تحليل مي‌شوند؟

در منطق رياضي، گزاره‌هاي جزئي، به صورت گزاره‌هاي وجودي تحليل مي‌شوند كه صورت شرطي را ندارند. گزاره‌هاي شرطي، در صورت عدم وجود افراد، صادقند، اما گزاره وجودي، بدون وجود فرد، صادق نيست. مراد از گزاره وجودي، گزاره‌اي است كه محمول آن، «وجود دارد» مي‌باشد و صورت آن چنين است: «.. وجود دارد». ((There isگزاره وجودي، در منطق ما، هلّيه بسيطه، ناميده مي‌شود؛ يعني قضيه‌اي كه محمول آن، مفهوم »وجود« است. فرگه، نخستين بار، تحليل عميقي از اين نوع گزاره‌ها را در منطق رياضي، ارائه داده است. بنا به نظر وي، اگر موضوع گزاره وجودي، اسم خاص باشد، داراي معنا و دلالت نخواهد بود. گزاره «قيصر موجود است»، نه صادق است و نه كاذب، بلكه بدون معناست؛ زيرا هنگامي كه وجود را بر شخص معيني حمل مي‌كنيم، وجود واقعي محسوس را به اين شخص نسبت مي‌دهيم، اما وظيفه اساسي اسم خاص، در واقع، ناميدن چيز معيني است. از اين‌رو، به كار بردن اسم خاص، وجود مسمايش را لازم گرفته است؛ از اين جهت، اسناد وجود به آن، معنا ندارد.

در اين‌جا نيز، براي تحليل گزاره‌هاي جزئي به وجودي، سلسله منطقي، از مباني اين تحليل را ذكر مي‌كنيم: (البته، بعضي از مباني مذكور، در تركيب شرطي، زيربناي تحليل گزاره وجودي نيز هستند).

.٢. وجود، خاصيت گزاره‌نماست: راسل مي‌گويد: «هنگامي كه شما گزاره‌نمايي را در نظر مي‌گيريد و حكم مي‌كنيد كه «ممكن است و گاهي صادق است»، اين مطلب، معناي اساسي وجود ((Existenceرا به شما ارائه مي‌دهد. مي‌توانيد وجود را چنين بيان كنيد كه حداقل، ارزشي براي x هست كه گزاره‌نما را صادق قرار مي‌دهد. مثال «xانسان است» را در نظر بگيريد؛ حداقل، ارزشي واحد، براي متغير x هست، به طوري كه گزاره‌نما را صادق قرار مي‌دهد. اين، همان چيزي است كه با گفتن «انسان‌ها وجود دارند» (There are Men) و «انسان‌ها موجودند» (Exist Men) قصد مي‌كنيم. اساساً، وجود، خاصيت گزاره‌نماست. معناي گزاره‌نما اين است كه گزاره‌نما حداقل، در نمونه واحدي، صادق است. اگر بگوييد: «اسب‌هاي شاخدار، وجود دارند» به اين معناست كه «xي، وجود دارد، به گونه‌اي كه آن، x اسب شاخدار است» اين گزاره، به عبارتي نوشته شده كه بي‌جهت، به زبان معمولي، نزديك شده است، اما راه خاصي كه مي‌توان وجود را در گزاره نهاد، چنين است:

«x يك اسب شاخدار است» ممكن است، منظور راسل، اين است كه گرچه در زبان، وجود را به چيزهايي نسبت مي‌دهيم، ولي در واقع، وجود، خاصيت گزاره‌نماست. گزاره «اسب شاخدار وجود دارد» وجود واقعي افراد را تقرير نمي‌كند؛ زيرا اين حيوان، وجود ندارد، اما با وجود اين، گزاره‌اي داراي معناست و صورت حقيقي آن، چنين است: «xي وجود دارد، به طوري كه x اسب شاخدار است».

وقتي مي‌گوييم كه گزاره‌نما به ازاي ارزشي صادق است، وجود چيزي را تقرير نمي‌كنيم، بلكه فقط مي‌گوييم: گزاره‌نما با يافت شدن يك ارزش، براي متغير، صادق است و اگر چيزي يافت نشود كه گزاره‌نما را صادق قرار دهد، گزاره، كاذب خواهد بود؛ مانند همين مثال. ما گزاره «(F) x گاهي برقرار است» را يك گزاره وجودي (Existence Proposition) مي‌ناميم؛ زيرا مفاد آن، چنين است: چيزي داراي خاصيت (F(xوجود دارد؛ مثلا اگر شما مي‌خواهيد بگوييد «اسب شاخدار موجود است» نخست، بايد اظهار كنيد كه «X اسبي شاخدار است» و سپس بيان كنيد كه ارزش‌هايي براي X وجود دارند كه اين گزاره‌نما را صادق قرار دهند...

بنابراين، وجود، در گزاره وجودي، واقعاً به افراد نسبت داده نمي‌شود، بلكه وصف گزاره‌نماست و به اين معناست كه گزاره‌نما ممكن است.

.٢. وجود، محمول درجه دوم است: فرگه، در تحليل گزاره‌هاي وجودي، به نكته ديگري رسيده است كه داراي اهميت مي‌باشد. در گزاره وجودي، موضوع نداريم و اين نوع گزاره‌ها، حقيقتا از دو محمول تشكيل شده‌اند: يكي اسم عامي كه محمول از درجه اول است و ديگري، وجود، كه محمول از درجه دوم است. مقصود فرگه، از »محمول درجه اول« محمولي است كه به افراد، نسبت داده مي‌شود. محمول درجه دوم نيز، محمولي است كه به محمول درجه اول نسبت داده مي‌شود. به عنوان مثال، در گزاره »منطق‌دانان، وجود دارند«، منطق‌دانان، محمول درجه اول است كه به افراد، نسبت داده شده است؛ يعني مي‌توان گفت كه » Xمنطق‌دان است«، گاهي صادق است، اما وجود، محمول درجه دوم است؛ زيرا به صنف منطق‌دان، نسبت داده شده و به اين معناست كه فكر كردن، درباره كساني كه منطق‌دان ناميده مي‌شوند، ممكن است؛ چه اين صنف، در واقع، وجودي داشته باشند و چه نداشته باشند.

} {P Pبنابراين، گزاره جزئي نيز، مانند گزاره كلي، از دو محمول و دو مفهوم تشكيل شده است كه هركدام به گزاره‌نمايي تحليل مي‌شوند؛ و اما مفاد سور نيز، عبارت از اين است كه حداقل، ارزشي يافت مي‌شود كه گزاره‌نما را صادق قرار مي‌دهد.

نقد نگرش‌هاي منطق‌دانان رياضي

نويسنده محترم مقاله »قضاياي كلي و جزئي، در منطق قديم و جديد« چنين بيان مي‌دارد:

]... در حالي كه منطق قديم، قضايا را به حملي و شرطي تقسيم مي‌كند و هر يك از حملي شرطي را قسيم ديگري مي‌داند و با وجود اين تقسيم‌بندي، ديگر نمي‌توان قضاياي حملي را به شرطي برگرداند و اگر در پاره‌اي موارد، مشاهده شود كه قضاياي حملي كلي، به شرطي برگردانده شده است، بايد حمل بر معنايي شود كه منافات با حملي بودن آن قضايا نداشته باشد. توضيح مطلب، اين‌كه وقتي گفته مي‌شود:

»الف، ب است«، موضوع قضيه، »الف« و محمول، »ب« مي‌باشد و در قضيه، علاوه بر موضوع و محمول، يك رابط نيز داريم كه بين موضوع و محمول، ارتباط برقرار مي‌كند و آن »است« مي‌باشد. در هر قضيه حملي، از چيزي )موضوع( خبر داده مي‌شود كه آن خبر، محمول قضيه است. بنابراين، در قضيه »الف، ب است«، از »الف« به »ب« خبر مي‌دهيم و خبر، آن است كه در محمول قضيه، واقع مي‌شود. بنابراين، نمي‌توان قضاياي حملي را كه داراي يك محمول هستند، طوري تحليل كرد كه در حقيقت، دو خبر را افاده كنند. بنابراين، نمي‌توان گفت كه »الف، ب است«، تحليل مي‌شود به »وجود دارد شيي‌ءاي كه »الف« است و »ب«؛ زيرا در اين‌جا از شيي‌ء، به دو خبر داده‌ايم، در حالي كه در »الف، ب است«، از »الف« به »ب« خبر مي‌دهيم، نه از شيي‌ء، به »الف« بودن و »ب« بودن. [

} {P Pما با تحليل‌هاي منطق رياضي، موافق نيستيم، ولي سخنان اين نويسنده محترم را نيز، داراي قوّت نمي‌دانيم؛ زيرا:

-١در كلام مذكور، دليلي بر ردّ تحليل قضاياي كلي به شرطي، ذكر نشده است و گرچه در جاي ديگر مقاله، دليلي آورده‌اند كه آن را بررسي خواهيم كرد، ولي تقسيم قضايا به حملي و شرطي و قسيم شدن اين دو، تنها، دليل بر اين است كه شخص معتقد به منطق كلاسيك، با قبول اين تقسيم و حملي دانستن قضاياي كلي، نمي‌تواند قضاياي كلي را به شرطي ارجاع دهد، اما با قبول اين تقسيم و حملي ندانستن گزاره‌هاي كلي، مي‌تواند قضاياي كلي را به شرطي تحويل دهد؛ زيرا قضاياي حملي، منحصر در قضاياي كلي و جزئي نيستند. در هر حال، اين سخن، نه ردّي بر منطق رياضي است و نه به ضرر كساني است كه معتقد به منطق كلاسيك‌اند و قضاياي كلي را به قضاياي شرطي، ارجاع مي‌دهند.

-٢دليلي هم كه بر ردّ تحليل قضاياي جزئي آمده، نا تمام است؛ زيرا:

اولا، گرچه معناي حمل، اين است كه »الف، ب است« ولي نبايد فراموش كرد كه بحث، در قضاياي محصوره است؛ به عنوان مثال، مفاد قضيه كليه موجبه، اين است كه هر مصداق موضوع، مصداق محمول است و هر فردي كه موضوع اختيار مي‌كند، همان فرد را عنوان محمول هم، اختيار مي‌كند. به بيان ديگر، مفاد حمل، در قضاياي محصوره، تصادق موضوع و محمول، در ذات موضوع است؛ زيرا در اين قضايا، مفهوم موضوع، آيينه لحاظ مصاديق مي‌باشد؛ يعني موضوع ذكري قضيه مرآت، لحاظ افراد است كه اين افراد، حقيقتا مدنظر حاكمند. بنابراين، موضوع حقيقي، همين افرادند و موضوع ذكري، عنواني براي همين افراد است. پس مفاد حمل، در اين نوع قضايا، اتحاد مفهوم محمول با افرادي است كه مفهوم موضوع، عنوان حاكي از آن‌ها قرار گرفته است؛ از اين‌رو، بايد مفاد كلي حمل را كه اتحاد موضوع با محمول است، در قضاياي محصوره، به اتحاد محمول با موضوع حقيقي دانست كه موضوع ذكري، حاكي و عنوان آن است.

ثانيا، در عبارت »شيي‌ءاي كه »الف« و »ب« است، وجود دارد«، كه مفاد گزاره وجودي است، از يك شيي‌ء دو خبر نمي‌دهيم، بلكه خبر از وجود شيي‌ء واحدي مي‌دهيم كه داراي دو خاصيت و دو وصف است؛ اگر بگوييم كه شيي‌ء موجود، »الف« است و »ب«، از شيي‌ء واحد، دو خبر داده‌ايم و گزاره واحد را به دو خبر تحليل كرده‌ايم، اما سخن منطق رياضي، اين است كه شيي‌ء وجود دارد كه داراي خاصيت Fو خاصيت gاست؛ يعني خبر از وجود شيي‌ء مي‌دهيم كه داراي دو خاصيت Fو gاست. عبارت »الف و ب است«، كه بعد از »كه« موصول آمده، در واقع، وصف موضوع است. بنابراين، اشكال دو خبر، در يك قضيه را نمي‌توان بر منطق رياضي وارد كرد.

قبل از اين‌كه به نقد آراي منطق‌دانان رياضي بپردازيم، بايد از باب مقدمه، تحليلي را كه منطق‌دانان خودمان از قضاياي محصوره، عنوان كرده‌اند، بيان كنيم:

تحليل منطق‌دانان اسلامي از گزاره

علامه، قطب‌الدين رازي، در شرح شمسيه، مي‌فرمايد:

»فمحصّل مفهوم القضية يرجع الي عقدين، عقدالوضع و هو اتصاف ذات الموضوع بوصفه و عقدالحمل و هو اتصاف ذات الموضوع بوصف المحمول والاول تركيب تقييدي والثاني تركيب خبري، فههنا ثلاثة اشياء: ذات الموضوع و صدق وصفه عليه و صدق وصف المحمول عليه«

} {P Pمطابق نظر اين بزرگان، در تحليل قضاياي محصوره ٢٠محصوره، به سه مطلب مي‌رسيم:

-١ذات موضوع: در قضاياي محصوره، موضوع مذكور در قضيه، وصف عنواني براي لحاظ افراد است. افراد مندرج تحت عنوان وصف عنواني، ذات موضوع ناميده مي‌شوند. به بيان ديگر، چون در اين نوع قضايا، حكم، به خود مفهوم موضوع نيست، موضوع، عنواني است كه محمول را به افراد سرايت مي‌دهد؛ همين افراد، ذات موضوع ناميده مي‌شوند.

-٢عقدالوضع: اتصاف ذات موضوع به وصف عنواني موضوع است كه تركيبي ناقص و توصيفي مي‌باشد؛ يعني مفهومي كه در قضيه، عنوان براي لحاظ افراد شده است، با اين افراد، ارتباط دارد؛ رابطه اين مفهوم، با افراد تشكيل‌دهنده آن، عقدالوضع است؛ زيرا اين مفهوم، بايد بر افراد )ذات موضوع( منطبق باشد، پس بايد افراد موضوع، موضوع و اين مفهوم، در قضيه‌اي سابق بر اين قضيه، محمول قرار گرفته باشند و سپس به حكم قاعده »الاخبار بعدالعلم بها اوصاف« تصديق قبلي، به تصور تركيب ناقص توصيفي، تبديل مي‌شود كه عقدالوضع نام دارد.

-٣عقد الحمل: عبارت است از اتصاف ذات موضوع به مفهوم محمول؛ زيرا در قضاياي محصوره، موضوع، عنوان لحاظ افراد است و محمول را به افراد سرايت مي‌دهد. ارتباطي كه ميان افراد )ذات موضوع( و مفهوم، در نظر گرفته مي‌شود، عقدالحمل نام دارد، بايد توجه داشت كه عقدالوضع، مقدمه عقدالحمل و تأمين‌كننده آن است. بنابراين، ما دو تركيب تام خبري، در يك گزاره نداريم، بلكه تنها، عقدالحمل، تركيب تام خبري است.

تفاوت اسم خاص با اسم كلي و محمول

در )الف (١-٣گفتيم كه اسم خاص با اسم كلي، فرق دارد؛ اسم خاص، واقعا موضوع مي‌شود، اما اسم كلي، هرچند كه در ظاهر، موضوع واقع مي‌شود، ولي در حقيقت، يك گزاره‌نماست و در )الف (١-٤گفتيم كه مفاهيم كلي، در واقع، هميشه محمولند و در گزاره‌نمايي كه از تحليل كلي، به دست مي‌آيد، مفهوم كلي محمول واقع مي‌شود؛ بنابراين، گزاره‌هاي كلي، از علاقه ميان دو مفهوم كلي، سخن مي‌گويند و موضوعي در اين قضايا نداريم تا قضيه حمليه داشته باشيم؛ مي‌گوييم كه:

لابد، نظر منطق‌دانان رياضي، به مفاهيم كلي است كه مرتبط با افراد مي‌باشند؛ مثلا در گزاره »هر انساني ميرا است« مفهوم موضوع، مستقيما با افراد مرتبط است؛ زيرا وصف عنواني، حاكي از افراد و مصاديق است، همچنين مفهوم محمول نيز، به واسطه وصف عنواني موضوع، به افراد و مصاديق موضوع، ناظر است و الا در قضاياي طبيعيه، مانند »انسان نوع است« مفهوم كلي، واقعا موضوع است و در اين‌جا نمي‌توان مفهوم انسان را به گزاره‌نما تبديل كرد؛ چرا كه در رابطه با افراد و مصاديق نيست. پس تفاوتي كه اين‌ها خواسته‌اند بيان كنند، ميان اسم خاص و مفهوم كلي مرتبط با افراد است، چه اين مفهوم كلي مرتبط با افراد، خود، مرآت و وصف عنواني لحاظ افراد باشد )مانند مفهوم موضوع، در قضاياي محصوره( يا به وسيله وصف عنواني ديگري، ناظر به افراد باشد؛ )مانند مفهوم محمول(.

در اين‌جا مي‌توانيم به بررسي اين دو نكته بپردازيم: آيا مفهوم كلي، هميشه محمول است؟ و آيا كلي، هميشه به گزاره‌نما تحليل مي‌شود؟

در ارتباط با نكته اول، بايد گفت كه مفهوم كلي، مي‌تواند موضوع واقع شود. گفتيم كه مفهوم كليي كه مورد بحث است، يا وصف عنواني است و يا به وسيله وصف عنواني ديگري، با افراد مرتبط است. مفهوم كليي كه خود، وصف عنواني براي لحاظ افراد است، مي‌تواند موضوع واقع شود و موضوع قضاياي محصوره، چنين مفهومي است؛ زيرا هر چند كه مفهوم كلي موضوع، در اين نوع قضايا مرآت لحاظ افراد است، ولي بايستي ميان دو مرتبه، فرق گذاشت، مرتبه‌اي كه مفهوم كلي، محمول بر افراد است و مرتبه‌اي كه مفهوم كلي، وصف عنواني براي لحاظ افراد است. در منطق رياضي، افراد را با متغير نشان مي‌دهند؛ يعني در گزاره كلي ) g(x)) x(F(xق افراد با متغير آمده‌اند كه هم، در ناحيه موضوع و هم، در ناحيه محمول، ظاهر شده‌اند. اين افراد، در مرتبه‌اي سابق بر اين حكم، موضوع هستند و مفهوم كلي، محمول است؛ در مرتبه بعد، مفهوم كلي، وصف عنواني موضوع مي‌شود؛ يعني نخست، كلّيت مفهوم موضوع تبيين مي‌شود و سپس، اين مفهوم كلي، موضوع و وصف عنواني واقع مي‌شود. در مرتبه‌اي كه مفهوم كلي، وصف عنواني شده است، خود محمول نيست؛ زيرا نظر حاكم به اتحاد دو طرف حكم مي‌باشد و دو طرف حكم نيز، تا زماني كه طرف حكمند، خود، داراي حكم نيستند. از اين جهت، وصف عنواني، در مرتبه متأخر، محمول نيست و فقط با ذات موضوع، به صورت وصف و موصوف، تحليل مي‌شود. بنابراين، بايد مرتبه محمول شدن مفهوم موضوع را از مرتبه وصف عنواني شدن آن، تفكيك كرد و به طور عموم، نمي‌توان گفت كه هر مفهوم كلي، محمول است. از طرف ديگر، رابطه افراد و وصف عنواني موضوع، عقدالوضع بود كه تركيب ناقص توصيفي بود؛ زيرا »الاحبار بعدالعلم بها اوصاف«. از اين‌رو، عقدالوضع، تركيب ناقص است، اما عقدالحمل - چنان‌كه از شرح شمسيه، نقل شد - تركيب تام خبري است. نتيجه‌اي كه به دست مي‌آيد، اين است كه مفهوم كلي را كه در طرف عقدالوضع است، نمي‌توان به گزاره‌نما تبديل كرد.

در توضيح اين مطلب مي‌گوييم: مطابق تحليل منطق رياضي، گزاره‌هاي كلي و همچنين گزاره‌هاي جزيي موضوع و محمول، به گزاره‌نما تبديل مي‌شوند. در زبان‌هاي طبيعي نيز، به ازاي گزاره‌نما، تركيب تام خبري داريم؛ يعني همين تركيب تام خبري )كه موضوع آن مجهول است( در زبان صوري، به گزاره‌نما تبديل مي‌شود، ولي چنان‌كه گفتيم، عقدالوضع، تركيب تام خبري نيست. به بيان ديگر، رابطه افراد )ذات موضوع( كه به صورت متغير، در گزاره‌نما ظاهر مي‌شوند، با مفهوم كلي، تركيب تام خبري نيست. بنابراين، وصف عنواني را نمي‌توان به صورت گزاره‌نما درآورد، گرچه عقدالحمل، تركيب تام خبري است. از اين‌رو مي‌توان مفهوم كلي محمول را به گزاره‌نما تحليل كرد.

به نظر ما گرچه منطق‌دانان رياضي، متحمل زحمات زيادي شده‌اند، ولي به لطافت و دقت تحليل منطق‌دانان اسلامي نرسيده‌اند و هنوز قدر و ارزش اين تحليل، مجهول مانده است.

مسأله وجود افراد

وجود افراد براي موضوع، مشكل آفرين‌ترين مسأله، براي منطق‌دانان رياضي بوده است. در منطق كلاسيك، گفته مي‌شود كه قضاياي موجبه، نياز به وجود موضوع دارند. علت اين مطلب هم قاعده فرعيه »ثبوت شيي‌ء لشيي‌ء فرع ثبوت المثبت له« است و از طرف ديگر ، قضاياي كليي داريم كه موضوع آن‌ها وجود ندارد، يعني فرض كرده‌اند كه با وجود و عدم وجود موضوع سازگار و صادق است.

(١نخست بايد گفت كه تنها قضاياي كلي نيستند كه گاهي موضوعشان موجود نيست، بلكه بعضي قضاياي جزئيه نيز در اين ويژگي،

سهيمند. اگر گزاره كلي »هر يوناني ميرا است« در فرض عدم وجود موضوع، صادق است، گزاره جزئي »بعضي از يوناني‌ها ميرا هستند« نيز، در فرض مذكور صادق است. بنابراين، اشكال عام است و نمي‌توان قضاياي كلي را از قضاياي جزئي، از اين نظر، تفكيك كرد و تحليل قضاياي جزئي، به وجودي، را با اشكال روبه رو مي‌كند.

(٢اما سخن تحقيقي، اين است كه حتي اشكال عدم وجود موضوع، موجب نمي‌شود كه گزاره‌ها حمليه نباشد و از نظر ساختمان صوري، شرطي باشد، بلكه مي‌شود كه گزاره‌اي حمليه باشد، ولي موضوعش موجود نباشد. در توضيح اين مطلب، بايد گفت كه چنان‌كه ذكر شد، دليل ضرورت موضوع براي قضاياي موجبه، قاعده فرعيه است، اين قاعده به صورت مبهم گفته مي‌شود كه "ثبوت شيي‌ء لشي‌ء فرع ثبوت المثبت له". اين عبارت، خود مبهم است و معلوم نيست كه قضيه چه نوع وجودي براي موضوع، طلب مي‌كند، اما گاهي به صورت واضح گفته مي‌شود كه »ثبوت شيي‌ء لشي‌ء في ظرف، فرع ثبوت المثبت له في ذلك الظرف«. منطق‌دانان ما قاعده فرعيه را بديهي دانسته‌اند. اگر ايجاب و ثبوت، خارجي بود، بايد موضوع، در ظرف خارج، موجود باشد، )البته اگر خارجيه را به اصطلاح متأخرين گرفتيم( و اگر ايجاب و ثبوت، ذهني بود، بايد مثبت‌له و موضوع، در ظرف ذهن، موجود باشد و اگر ظرف ايجاب و ثبوت، نفس‌الامر باشد، ظرف وجود موضوع، نفس‌الامر است؛ چه موضوع، محقق باشد و چه فرضي. بنابراين، در قضاياي حقيقيه كه ظرف وجود موضوع، نفس‌الامر است - و قضاياي ذهنيه كه ظرف وجود موضوعشان ذهن است - و قضاياي ذهنيه كه ظرف موجود موضوعشان ذهن است - قاعده فرعيه، اقتضاي وجود موضوع، در ظرف خارج را نمي‌كند و به همين دليل، منطق‌دانان نگفته‌اند كه هر قضيه‌اي در خارج، نياز به وجود موضوع دارد. علامه، قطب‌الدين رازي، شارح شمسيه، چنين مي‌فرمايد: »قد ظهر لك مما بيناه ان الحقيقة لا تستدعي وجود الموضوع في الخارج بل يجوز ان يكون موجودا في‌الخارج، فالحكم فيها لا يكون مقصورا علي الافراد الخارجيه بل يتناولها والافراد المقدرة الوجود بخلاف الخارجيه فانها تستدعي وجود الموضوع في الخارج والحكم فيها مقصور علي الافراد الخارجيه فالموضوع ان لم يكن موجودا فقد تصدق القضية باعتبار الحقيقة دون الخارج... «

} {P Pنتيجه‌اي كه حاصل مي‌شود، اين است كه مفاد حمل، در قضاياي محصوره، ثبوت محمول براي افراد خارجي يا ذهني و يا مقداري است كه وصف عنواني، براي آن‌ها عنوان، قرار گرفته است و حاكي از آن‌هاست، اما مفاد قضيه شرطي كه براي تحليل گزاره‌هاي كلي ذكر شده، اين است كه »به ازاي هر فرد، اگر آن فرد، وصف عنواني را داشته باشد، همان فرد محمول را هم خواهد داشت«؛ يعني حمل محمول، بر ذات موضوع، معلّق بر حمل وصف عنواني موضوع، بر ذات موضوع است. مطلق حمل، اقتضاي وجود موضوع، در خارج را ندارد تا در صورت عدم وجود موضوع، به شرطيه تبديل شود.

(٣راسل مي‌گويد كه اگر شما وجود يوناني‌ها را از گزاره »هر يوناني ميرا است« استفاده مي‌كنيد، در واقع، در يك گزاره، دو گزاره را گنجانيده‌ايد )- الف . (١-٥بايد به راسل گفت كه منظور، اين نيست كه يك خبر، حاوي دو خبر است و ما از گزاره واحد، دو گزاره به دست مي‌آوريم؛ يعني از گزاره »هر يوناني ميرا است« هم ميرا بودن يوناني‌ها مفهوم است و هم وجود يوناني‌ها، بلكه مفهوم گزاره ثبوت محمول )ميرا بودن، براي يوناني‌ها( است و عقلا، ثبوت چيزي براي موضوعي، مستلزم وجود آن موضوع است. به عبارت ديگر، از اين‌كه چيزي موضوع واقع شده است، مي‌فهميم كه لازمه موضوع شدن آن، تصديق به وجود آن موضوع است، نه اين‌كه مفاد خود گزاره،

صريحا، وجود موضوع باشد. از اين‌كه چيزي، در هليات مركبه، موضوع شده است، تصديق انحلالي، به وجود آن چيز به دست مي‌آيد. ما در هليه مركبه »هر يوناني ميرا است« دو تصديق صريح و فعلي نداريم، بلكه اين گزاره، شامل يك تصديق است و تركيب عطفي دو گزاره هم نيست، اما در طرف موضوع، تصديق ضمني و انحلالي، به وجود آن موضوع هست، اما نبايد خلط كرد كه منظور، وجود خارجي يوناني‌ها نيست، بلكه اگر گزاره را حقيقيه بگيريم، منظور، وجود فرضي و مقدر موضوع است. ادامه دارد.

• پى‌نوشت‌ها

-١واضح است كه محصورات چهارگانه در قضاياي شرطي به لحاظ حالات و زمان‌ها است نه به لحاظ افراد، و بحث در محصورات چهارگانه به لحاظ افراد موضوع است.

-٢گرچه اين امر اختصاص به محصوره ندارد و در قضاياي مهمله هم جاري است ولي بحث در قضاياي محصوره است.

-٣دكتر محمد مهران، فلسفه برتر اندرسل، درالمعارف بمصر، ص ٢٦٤و نيز: و Bertrand Russell, Knowledgelogic And

٤- Routledge, ١٩٩٢ p p. ٢٣١-٢٣٢ Logic and Knowledge, p. ٢٣٠.

٥- I bid. p. ٣٧٧.

٦- I bid. p. ٢٣١.

-٧ الدكتور زكي نجيب محمود، المنطق الوضعي، الطبعة الخامسة ج ١ص. ٧٨

٨- Bertrand Russell, My philosophical Development, London, ١٩٩٣, p. ١٢٤.

٩- Logic And Knowledge, p. ٢٢٩.

-١٠ دكتور محمود فهمي زيدان، المنطق الرمزي نشأته و تطوره، دارالنهضة العربية، ١٩٧٣ص. ١٩٠

-١١ ردلف كارناپ، مقدمه‌اي بر فلسفه علم، ترجمه يوسف عفيفي، انتشارات نيلوفر، چاپ اول، ١٣٦٣ص. ١٦-١٧

-١٢ خود اين نياز به بحثي دارد كه اين‌جا متعرض نشده‌ايم رجوع شود به: گزاره‌هاي كلي و وجودي در منطق رياضي، كيهان انديشه شماره . ٥٠

-١٣ المنطق الرمزي نشأته و تطوره، ص. ١٤١ -١٤٢

١٤- Logic and Knowledge, p. ٢٣٢.

١٥- I bid., p. ٣٧٧.

-١٦ المنطق الرمزي، ص. ٢٢٨ - ٢٢٩

-١٧ مجله معرفت، شماره. ٦

-١٨ قطب‌الدين رازي، شرح شمسيه، چاپ علميه اسلاميه، ص. ٧٧

-١٩ شروح الشمسيه، ج ٢شركة شمس الشروق، ص. ٤٩

-٢٠ المنطق الرمزي، ص. ١٩١